Τετάρτη, 27 Ιουνίου 2012



   

ΚΥΚΛΟΣ ΜΟΡΦΩΤΙΚΩΝ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ-ΣΕΜΙΝΑΡΙΩΝ


"Τέχνη και Μαθηματικά -

Αισθητικές προκλήσεις και νοητικές αφαιρέσεις"



Το Μουσείο Ηρακλειδών, στο πλαίσιο της έκθεσης που παρουσιάζει με έργα των M.C.Escher και V.Vasarely, - δύο καλλιτεχνών με έντονο μαθηματικό υπόβαθρο στις δημιουργίες τους - διοργανώνει κύκλο μορφωτικών διαλέξεων-σεμιναρίων με θέμα «Τέχνη και Μαθηματικά – Αισθητικές προκλήσεις και νοητικές αφαιρέσεις», με εισηγητές τους μαθηματικούς / επιμελητές της έκθεσης κ.κ. Απόστολο Παπανικολάου και Άρη Μαυρομμάτη.

Οι μορφωτικές διαλέξεις-σεμινάρια απευθύνονται στο ενήλικο κοινό και στόχο έχουν τη μύησή του στον κόσμο της Τέχνης, των Μαθηματικών, της Φιλοσοφίας και των μεταξύ τους διασυνδέσεων. Όλη η παρουσίαση γίνεται σε πλαίσιο διαλόγου και ενεργής συμμετοχής του κοινού, με παράλληλη προβολή σχετικού oπτικοακουστικού υλικού και χρήση διαδραστικών εκθεμάτων. Ο κύκλος περιλαμβάνει τρεις βασικές εισηγήσεις:


α) Κλασική Τέχνη, Μαθηματικά και Φιλοσοφία
Παρασκευή, 29 Ιουνίου 2012, ώρα 18:00-20:00, κόστος συμμετοχής 20€ 
Ένα ταξίδι από την γεωμετρική Τέχνη, στην αρχαϊκή Τέχνη, στο κλασικό ιδεώδες της Τέχνης και την τέχνη της ελληνιστικής περιόδου. Οι ιδανικές αναλογίες (χρυσή τομή) σε σχέση με τις θεμελιώδεις για τα Μαθηματικά αναζητήσεις της έννοιας του λόγου, του απείρου και του απειροστού. Η αέναη Ηρακλείτεια κίνηση, η πυθαγόρεια μαθηματική κοσμοθεωρία, η Ελεατική ακινησία του όντος, η Πλατωνική σύνθεση πέρατος και απείρου, αισθητού και νοητού και η Αριστοτελική άποψη. Η σύνθεση του Διονυσιακού και Απολλώνιου στοιχείου.





β) Αναγέννηση, Μαθηματικά και Φιλοσοφία

Παρασκευή, 6 Ιουλίου 2012, ώρα 18:00-20:00, κόστος συμμετοχής 20€
Η εμφάνιση της γραμμικής προοπτικής σε συνδυασμό με την εμφάνιση των μη ευκλείδειων γεωμετριών. Η Κυριαρχία του Πλατωνικού ρασιοναλισμού στη νεφελώδη μεσαιωνική ερμηνεία των Αριστοτελικών απόψεων. Η ευφορία του μπαρόκ και του ροκοκό σε σχέση με την καρτεσιανή και Νευτώνεια ντετερμινιστική ευφορία της λογικής κατάκτησης της λειτουργίας της φύσης.





γ) Μοντέρνα Τέχνη, Μαθηματικά και Φιλοσοφία

Παρασκευή, 13 Ιουλίου 2012, ώρα 18:00-20:00, κόστος συμμετοχής 20€

Η αμφισβήτηση του ντετερμινισμού και της Νευτώνειας αντίληψης για το σύμπαν, η κυριαρχία των απλών λιτών γεωμετρικών γραμμών του Bauhaus στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική. Οι επηρεασμοί της Τέχνης από τις αναζητήσεις της μορφολογικής ψυχολογίας αλλά και τις επιστημονικές ανακαλύψεις του 20ου αιώνα.




Δηλώσεις συμμετοχής στο 210 34 61 981
καθημερινά 9:00-13:00, Παρ.: 13:-21:00, Σαβ.-Κυρ.: 11:00-19:00 


ΓΡΑΦΕΙΟ ΤΥΠΟΥ-ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ

Ελένη Νομικού (Δευτ.– Παρ. 09:00-13:00)
τηλ.: 210 34 61 981 (εσωτ. 201)
e-mail:
enomikou@herakleidon-art.gr  


Παρ. Το κόστος συμμετοχής προορίζεται για κάλυψη λειτουργικών και μόνον εξόδων του μουσείου.

Δευτέρα, 30 Ιανουαρίου 2012

Σάββατο, 21 Ιανουαρίου 2012

Έκθεση Αγγελικής Σιάμου - Gallerie Έρση, Κολωνάκι Ιανουάριος 2012



Οι κριτικοί μίλησαν για αφηρημένη τοπιογραφία. Εγώ θα μίλαγα για προσπάθεια ανακάλυψης αφανών δομών. Και "η αρμονία των αφανών δομών κρείσσων των εμφανών" κατά Ηράκλειτο.

Κυριακή, 4 Σεπτεμβρίου 2011

ΜΟΡΦΩΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΜΟΥΣΕΙΟΥ ΗΡΑΚΛΕΙΔΩΝ





"ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ"®


Ένα ταξίδι από την αισθητική της Τέχνης, στη λογική των Μαθηματικών





M.C.ESCHER, «ΛΟΓΟΣ», ΛΙΘΟΓΡΑΦΙΑ, 1942
All M.C. Escher works © The M.C. Escher Company B.V. - Baarn - the NETHERLANDS

· Ανανεωμένο, αναβαθμισμένο περιεχόμενο, για όλες τις βαθμίδες εκπαίδευσης: Νηπιαγωγείο, Δημοτικό, Γυμνάσιο, Λύκειο
· Δύο κύκλοι παρουσιάσεων καθημερινά με δυνατότητα υποδοχής 75 μαθητών σε κάθε κύκλο. Ώρες έναρξης 9:00 & 11:00
· Τρεις κατάλληλα διαμορφωμένες και εξοπλισμένες αίθουσες διδασκαλίας
· Διαλέξεις & κύκλοι ομιλιών για εκπαιδευτικούς και φοιτητές
· Εκλαϊκευμένες παρουσιάσεις στο ευρύ κοινό


Το γνωστό από το 2005 στην εκπαιδευτική κοινότητα πρόγραμμα "Τέχνη και Μαθηματικά"®, αποκτά πλέον αλληλεπιδραστική μορφή και επεκτείνεται, εκτός των μαθητών δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, σε μαθητές Δημοτικού, φοιτητές Πανεπιστημίων, εκπαιδευτικούς, αλλά και στο ευρύ κοινό.





Για περισσότερες λεπτομέρειες για το Εκπαιδευτικό Πρόγραμμα, πατήστε παρακάτω, ανάλογα με τη βαθμίδα εκπαίδευσης:


Νηπιαγωγείο-
Δημοτικό

Γυμνάσιο

Λύκειο




ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ

Άρης Μαυρομμάτης & Αποστόλης Παπανικολάου,
καθηγητές μαθηματικών

Αριθμός μαθητών:

έως 75 άτομα

Ημέρες διεξαγωγής:

Δευτέρα - Παρασκευή

Ώρες:

9:00-11:00 & 11:00-13:00

Διάρκεια:

2 ώρες

Κόστος συμμετοχής:

2,50 €/μαθητή. Συνοδοί εκπαιδευτικοί δωρεάν


Το εκπαιδευτικό πρόγραμμα περιλαμβάνει:

· Επίσκεψη στον εκθεσιακό χώρο, όπου σύμφωνα με το πρόγραμμα του Μουσείου, θα εκτίθενται από 1/10/2011 έως 29/1/2012 έργα εννοιολογικής τέχνης του Αμερικανού καλλιτέχνη Sol LeWitt, με θέμα «Χρώμα και Γραμμή». Μετά το πέρας αυτής της έκθεσης, το Μουσείο θα παρουσιάσει επιλεγμένα έργα από τις δικές του συλλογές M.C. Escher και Victor Vasarely, με γνώμονα την αξιοποίησή τους στο Εκπαιδευτικό Πρόγραμμα.
· Συζήτηση – διδασκαλία στις αίθουσες διαλόγου και αλληλεπίδρασης. Σε κάθε μία από τις τρεις αίθουσες διαλόγου - διδασκαλίας εκτίθενται κατάλληλα επιλεγμένοι πίνακες καθώς και ειδικά σχεδιασμένα εκθέματα – κατασκευές. Ο σχολιασμός – διάλογος στο περιεχόμενο των επιλεγμένων πινάκων και η αλληλεπίδραση με τα εκθέματα καλύπτει τα σημαντικότερα σημεία στα οποία συναντώνται και αλληλοεπηρεάζονται η Τέχνη με τα Μαθηματικά και γενικότερα η Επιστήμη αλλά και η Φιλοσοφία.

Στις δραστηριότητες του προγράμματος οι συμμετέχοντες δεν καλούνται απλά να παρακολουθήσουν ανενεργά μια διάλεξη. Ενεργοποιούνται και γίνονται συνυπεύθυνοι στην εξέλιξη της δραστηριότητας και αλληλεπιδρούν σε ένα περιβάλλον ομαδικοσυνεργατικότητας.

Το εκπαιδευτικό πρόγραμμα «Τέχνη και Μαθηματικά»® θα πραγματοποιείται για μεν τους μαθητές στο πλαίσιο των μορφωτικών επισκέψεων των σχολείων, για δε τους εκπαιδευτικούς, τους φοιτητές και το ευρύ κοινό σε τακτές προκαθορισμένες συναντήσεις.

ΚΡΑΤΗΣΕΙΣ-ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ
Κα Ελένη Μ. Νομικού (Δευτ. - Παρ. 09:00-13:00)
τηλ.: 210 34 61 981 (εσωτ. 201)
email:
enomikou@herakleidon-art.gr

Τρίτη, 12 Απριλίου 2011

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΤΕΧΝΕΣ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ

9o Διήμερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών

Παρασκευή 15 & Σάββατο 16 Απριλίου 2011
Νέο Αμφιθέατρο Κεντρικού Κτιρίου Πανεπιστημίου Αθηνών
(Πανεπιστημίου 30)

http://www.ecd.uoa.gr/~dchasapis/MATHS-ARTS.HTM

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ


ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 15 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2011



16: 30 - 17: 00 Εγγραφή Συνέδρων



ΕΝΟΤΗΤΑ Ι
Μαθηματικά και Τέχνες: Προσεγγίσεις και Προβληματισμοί

Προεδρείο: Μαλβίνα Παπαδάκη



17: 00 – 19: 00

Δημήτρης Χασάπης
Μαθηματικά και τέχνες στην εκπαίδευση: Αναζητώντας κοινούς τόπους

Λέλα Λυμπεροπούλου
Καλλιτέχνες και μαθηματικά

Κωνσταντίνος Νικολαντωνάκης
Επεισόδια από την σχέση των Μαθηματικών με την Τέχνη

Παναγιώτα Κοταρίνου & Χαρούλα Σταθοπούλου
Ένα πανόραμα από τις έρευνες για την αξιοποίηση των τεχνών στη διδασκαλία των Μαθηματικών.


Διάλειμμα


19: 30 – 21: 30

Προσκεκλημένη Ομιλία
Δημήτρης Α. Σεβαστάκης
Η διάρρηξη του ρήγματος

Ουρανία Κούβου
‘Σχεδιάζοντας’ τους Αριθμούς:
Οι αριθμοί και το σχέδιο ως γνωστικές συμβολικές διεργασίες στην προσχολική ηλικία.

Τάσος Πατρώνης & Γεράσιμος Μελετίου
Με συνεργασία των
Μαρίας Ανδρικοπούλου, Σωφρόνη Βαμβακούση, Αγγελικής Γρετσίστα, Γιάννη Ρίζου και Βάνας Σταυρίδη

Απλή Τέχνη και Περίπλοκοι Γρίφοι: Ένα ερμηνευτικό σχήμα των αναπαραστάσεων που διαδίδονται μέσα από τη Δημοφιλή (Popular) Κουλτούρα για τα Μαθηματικά


ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2011


ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ
Μαθηματικά και Τέχνες στην Εκπαίδευση: Η Τέχνη του Λόγου

Προεδρείο: Στέλιος Παπακωνσταντίνου



09: 30 – 11: 00

Μαρία Τερδήμου
Μαθηματικά και ποίηση. Δύο όψεις της πανανθρώπινης ομορφιάς
.
Γιάννης Καρβέλης
Λογοτεχνικά Μαθηματικά: «Τό Τερπνόν μετά τού ’Ωφελίμου»

Αναστασία Μιχαλοπούλου
Πώς ασχοληθήκαμε με τη γεωμετρία και τις τέχνες διαβάζοντας την Επιπεδοχώρα στην τάξη

Αναστασία Σπανούδη & Κώστας Χατζηκυριάκου
Πού πάει, πού με πάει αυτό το ποίημα;

Άννα Χρονάκη & Γεωργία Μουτζούρη
Λογοτεχνία και Μαθηματικά στις Μικρές Ηλικίες: πολυφωνικές αφηγήσεις και αναδυόμενες δεξιότητες αριθμητικού γραμματισμού



Διάλειμμα


ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙΙ
Μαθηματικά και Τέχνες στην Εκπαίδευση:
Εκπαιδευτικές Προτάσεις & Διδακτικά Εγχειρήματα


Α’ Συνεδρία
Προεδρείο: Κώστας Νικολαντωνάκης


11.30 – 13.00

Άρης Μαυρομμάτης , Αποστόλης Παπανικολάου & Σοφία Σταθοπούλου
Το Εκπαιδευτικό Πρόγραμμα «Τέχνη και Μαθηματικά» στο Μουσείο Ηρακλειδών

Αναστασία Αϊβάζογλου & Κυριακή Πρεβενιού
«Τέχνη και Μαθηματικά» Παρουσίαση Διαθεματικού Εκπαιδευτικού Προγράμματος:
Αποτελέσματα και εμπειρίες στη Γυμνασιακή Eκπαίδευση

Θεοδώρα Ντόκα
Οι εικαστικές τέχνες ως εργαλείο προσέγγισης της Γεωμετρίας

Πανωραία Μπάκα
Οι παραστατικές τέχνες ως εργαλείο διδασκαλίας των μαθηματικών

Ελένη Γιαννακοπούλου
Λογική και ευαισθησία: Η συμβολή της τέχνης στην αναθεώρηση της σχέσης των ενηλίκων με τα μαθηματικά



Διάλειμμα


Β’ Συνεδρία
Προεδρείο: Δημήτρης Χασάπης


13: 30 – 15: 30

Δημήτρης Γιαννόπουλος & Πάτροκλος Καζάζης
Εικαστικές κατασκευές και γεωμετρικές ιδιότητες σχημάτων.
Μια διαθεματική προσέγγιση με τη χρήση λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας

Βασίλης Τσίτσος & Χαρούλα Σταθοπούλου
Χρήση λογισμικών στη δημιουργία κινουμένων σχεδίων για τη διδασκαλία των μαθηματικών:
Δυνατότητες και περιορισμοί

Νικόλας Τσαφταρίδης & Δημήτρης Σαρρής
Η μουσική, το παιχνίδι και τα μαθηματικά
Ποιος βοηθάει ποιόν; Μια διερεύνηση διεπιστημονικών διδακτικών προσεγγίσεων

Ηλίας Μιχαηλίδης, Κώστας Νικολαντωνάκης & Ιφιγένεια Βαμβακίδου
Μαθηματικά και γραφιστικη στά logos των ποδοσφαιρικών ομάδων

Πέτρος Χαβιάρης
Η αυτορρύθμιση των μαθητών κατά τη συνεργασία τους στα Μαθηματικά: Ο ρόλος του θεατρικού παιχνιδιού

Αντιγόνη Παρούση & Βασίλης Τσελφές
Θεατρική έκφραση και μαθηματικά στην εκπαίδευση εκπαιδευτικών


15: 30 – 16: 30
Παρεμβάσεις συνέδρων – Συζήτηση

Τρίτη, 22 Φεβρουαρίου 2011

ΣΧΕΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗΣ

Υπάρχει Σχέση Μαθηματικών και Τέχνης; Επιστήμης και τέχνης γενικότερα;
Τα Μαθηματικά αναμφίβολα έχουν το στοιχείο της αντικειμενικότητας και σχετίζονται με το λογικό τμήμα του ανθρώπου σε αντίθεση με την Τέχνη που έχει το στοιχείο της υποκειμενικότητας και σχετίζεται κυρίως με το συναισθηματικό τμήμα. Άρα καταρχήν φαίνεται μια μεγάλη αγεφύρωτη διαφορά.
Το θέμα της Τέχνης και της σχέσης της με τις αλήθειες των Μαθηματικών και της επιστήμης όπως και πολλά άλλα βέβαια έχει εξετασθεί εκτενέστατα στο Πλατωνικό αλλά και το Αριστοτελικό έργο και όπως σε πολλά παρόμοια ερωτήματα θα ανακαλύψουμε ξανά τον τροχό αν δεν ανατρέξουμε στις αναζητήσεις των γιγάντων της κλασικής περιόδου.
Ο Πλάτων με πάνω από 100 αναφορές του στην Τέχνη, ασχολείται ιδιαίτερα με αυτήν, της ασκεί δριμύτατη κριτική, (με εξαίρεση την αρχιτεκτονική) θεωρώντας την ως απλή μίμηση της μιμήσεως, απεικόνιση και αντίγραφο δηλαδή του αισθητού κόσμου, που με τη σειρά του είναι αντίγραφο και απεικόνιση του νοητού κόσμου των ιδεών. Έτσι θεωρεί ότι είναι τρεις φορές μακριά από την αλήθεια. Η Τέχνη (ως παράγουσα εμπειρικά αντίγραφα και εικασίες) και τα Μαθηματικά ως μέσα αναζήτησης του αγαθού τοποθετούνται αξιολογικά από τον Πλάτωνα σε συγκεκριμένες θέσεις στην περίφημη τετμημένη γραμμή του διαλόγου «Πολιτεία». Και μπορεί κανείς να συμφωνήσει ή να διαφωνήσει με τις Πλατωνικές θέσεις για τη φύση της αλήθειας των Μαθηματικών προτάσεων σε σύγκριση με τη φύση της αλήθειας ή μη των δημιουργημάτων της Τέχνης. Σίγουρα όμως δεν μπορεί να μην εισέλθει στον προβληματισμό που εισάγει ο Πλάτων, διότι ο προβληματισμός για τις «μιμήσεις» της Τέχνης γενικεύεται και ερευνάται από τον μεγάλο φιλόσοφο για όλες γενικώς τις «μιμήσεις». Και οι μιμήσεις ερμηνευόμενες ως αναπαραστάσεις των εννοιών είναι βασικό εργαλείο της επιστήμης γενικότερα αλλά και της διδακτικής ειδικότερα των Μαθηματικών και των φυσικών επιστημών.
Η Αριστοτελική άποψη είναι σαφώς ευμενέστερη από αυτήν του Πλάτωνα για την Τέχνη, έχοντας σε αυτήν αφιερώσει ένα ολόκληρο βιβλίο (την «Ποιητική») από όπου και ο ορισμός της τραγωδίας «έστι ουν τραγωδία μίμησις πράξεως σπουδαίας και τελείας…κάθαρσις». Η τραγωδία επιφέρει την κάθαρση και όχι τον εκμαυλισμό της ψυχής όπως ισχυρίζεται ο Πλάτων.
Ας δούμε όμως την άποψη του επιστήμονα Einstein για το θέμα αυτό: «Εκεί που ο κόσµος παύει να είναι η σκηνή για τις προσωπικές ελπίδες και επιθυµίες , εκεί που εµείς σαν ελεύθερα όντα , τον παρατηρούµε µε απορία , αναρωτιόµαστε για αυτόν και µελετάµε, εκεί είναι η είσοδος στο βασίλειο της τέχνης και της επιστήµης. Εάν µεταφράσουµε αυτό που νιώσαµε και παρατηρήσαµε µε τη γλώσσα της λογικής , τότε κάνουµε επιστήµη , αν το δείξουµε µε µορφές των οποίων οι σχέσεις δεν είναι προσιτές στην ενσυνείδητη σκέψη αλλά αναγνωρίζονται µε τη διαίσθηση ως µεστές νοήµατος τότε κάνουµε τέχνη. Το κοινό στοιχείο και στην τέχνη και στην επιστήµη είναι η αφοσίωση σε κάτι που υπερβαίνει το προσωπικό , που κείται πέρα από την περιοχή της αυθαιρεσίας».
Σημαντική είναι και η συνεισφορά στο διάλογο αυτό της άποψης του Νίτσε, όπως αυτή διατυπώνεται στη "Γέννηση της τραγωδίας". Θεωρεί ότι η Τέχνη και ειδικότερα η τραγωδία είναι η προσπάθεια προσέγγισης του Διονυσιακού στοιχείου της ανθρώπινης φύσης, ενώ η επιστήμη του Απολλώνιου στοιχείο.Χωρίς την αρμονία-συνεργασία αυτών των στοιχείων η ανθρώπινη φύση είναι λειψή! Εκεί βέβαια κατηγορεί τη σωκρατική θέση αλλά αυτό είναι μια άλλη συζήτηση.

H δική μας άποψη είναι ότι οποιαδήποτε καλιτεχνική δημιουργία στο χώρο των εικαστικών τεχνών, από τη στιγμή που κάτι απεικονίζεται στο επίπεδο ενός καμβά ή στο χώρο εμπεριέχει αναμφίβολα, συνειδητή η ασυνείδητη χρήση γεωμετρίας και αναλογιών σε φανερή ή λιγότερο φανερή μορφή. Οι αναλογίες στην περίπτωση της ζωγραφικής μπορεί να περιορίζονται σε αναλογία τονισμού ή χρωματισμού.
Οριζόντιες γραμμές σε ένα ζωγραφικό πίνακα προσδίδουν την αίσθηση της ηρεμίας, οι κατακόρυφες την αίσθηση της έντασης ενώ οι καμπύλες «κυματιστές» γραμμές δίνουν την αίσθηση της κίνησης. Οι απλές γεωμετρικές μορφές-σχήματα αποτελούν ούτως ή άλλως βασικά παραστατικά εργαλεία αντίληψης και έκφρασης και με πρωτοπόρους τους ψυχολόγους της μορφής (Gestalt) αποτελούν πλέον αντικείμενο μελέτης της γνωστικής ψυχολογίας. Είναι άκρως ενδιαφέρουσα η αναζήτηση των ελαχίστων εκείνων γεωμετρικών στοιχείων με τα οποία η ανθρώπινη αντίληψη αντιλαμβάνεται και εκφράζει τις βασικές μορφές του περιβάλλοντος.
Είναι επίσης βέβαιο ότι σε εξπρεσιονιστικές και παραπλήσιες τάσεις της Τέχνης απουσιάζει η ύπαρξη γεωμετρικού υποβάθρου. Σημαντικό όμως παρόλα αυτά μέρος της μοντέρνας Τέχνης με πρωτεργάτες τους Kandinsky, Montrian, Vasarely, Escher κλπ χρησιμοποιεί συνειδητά γεωμετρικά σχήματα στα δημιουργήματά τους.
Μια εικαστική μορφή π.χ. ένα άγαλμα αποτελεί μια παρέμβαση στον αισθητό τρισδιάστατο χώρο, δεν είναι πάντοτε μια μείξη αυστηρών γεωμετρικών στερεών, όμως τα διάφορα μέρη του, συνειδητά η ασυνείδητα εμπεριέχουν μια αναλογία, αυτήν που αρμόζει στην ψυχική στόχευση του καλλιτέχνη. Οι αναλογίες αυτές είχαν και έχουν μια συγκεκριμένη στόχευση, π.χ. στην κλασική εποχή, την απεικόνιση του ιδανικού πολίτη - μαχητή του καλού καγαθού και βέβαια δεν προυποθέτουν τη γνώση μαθηματικών και Γεωμετρίας αλλά του καλλιτεχνικού ταλέντου.
Από την έκδοση της «Aesthetic Measure» το 1933 από το μεγάλο μαθηματικού Birkhoff (γνωστό για την εισαγωγή της εργοδικής θεωρίας μέτρου), όλο και περισσότερες έρευνες όμως έρχονται στο φως που αναδεικνύουν κρυφές μαθηματικές δομές στα έργα τέχνης και μάλιστα κάποιες από αυτές πλέον συνεπικουρούν στον έλεγχο της γνησιότητας έργων τέχνης και πεποίθησή μας είναι (ότι το αισθητικά όμορφο είναι και μαθηματικά μετρήσιμο.
Για διδακτικούς και μόνον όμως σκοπούς αναζητούμε καλλιτενήματα στα οποία είναι παραπάνω από φανερή η ύπαρξη γεωμετρικού και γενικότερα μαθηματικού υποβάθρου.
Θεωρούμε υπερβολική την άποψη της ύπαρξης συγκεκριμένου γεωμετρικού υποβάθρου σε μια πληθώρα πινάκων όπως αυτή του Bouleau στο βιβλίο «H κρυφή γεωμετρία των ζωγράφων», όμως δεν μπορεί να αμφισβητηθεί το συγκεκριμένο γεωμετρικό υπόβαθρο των αναγεννησιακών προοπτικών πινάκων. Επίσης δε θα μπορούσε να αμφισβητηθεί η ύπαρξη γεωμετρικού μοτίβου στα αραβουργήματα, στα δημιουργήματα της Op Art, και σε μια σειρά τεχνοτροπιών και έργων Τέχνης, τα οποία για διδακτικούς λόγους σταχυολογούμε στη συνέχεια του κειμένου.
Η μαθηματική δομή επίσης των μουσικών δημιουργιών είναι πέραν πάσης αμφισβήτησης.
Για μια εμπεριστατωμένη μελέτη της σχέσης των Μαθηματικών με τη Τέχνη παραπέμπουμε στο [Εmmer- The Visual mind II,2005, MIT Press,Cambridge, Massachusetts
London, England].

Σάββατο, 21 Νοεμβρίου 2009

ΓΛΥΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΜΟΥΣΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΔΩΝ

Με την ευκαιρία της έκθεσης γλυπτών του Degas στο μουσείο Ηρακλειδών από 26 Νοεμβρίου θα παρουσιάζεται το πρόγραμμα "ΓΛΥΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ".
Πιο συγκεκριμένα:
Συγκριτική αναδρομή στην ιστορία της Γλυπτικής και των Μαθηματικών από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, με επισήμανση των σημείων επηρεασμού της Γλυπτικής από τα Μαθηματικά. Πιο συγκεκριμένα εξετάζονται και διερευνούνται:
Το επίπεδο των μαθηματικών ανακαλύψεων και αναζητήσεων, οι οποίες επηρεάζουν και διαμορφώνουν την εκάστοτε κυρίαρχη άποψη περί κάλλους και αρμονίας από την εποχή των Πυθαγορείων, του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη, της Ελληνιστικής εποχής, της Αναγέννησης αλλά και της γεωμετρικότητας της γλυπτικής του 20ου αιώνα.
Οι μαθηματικές αναλογίες του αγάλματος "Δορυφόρος" του αρχαίου γλύπτη Πολύκλειτου, αναλογίες οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν ως πρότυπο απεικόνισης του ανθρωπίνου σώματος από την κλασική Ελλάδα, το Βιτρούβιο και στη συνέχεια μέχρι την ύστερη Αναγέννηση.
Η χρήση της μαθηματικής αναλογίας της χρυσής τομής από τον διάσημο αρχαίο γλύπτη Φειδία (προς τιμήν του οποίου άλλωστε πολλούς αιώνες αργότερα η Δύση την ονόμασε με το αρχικό του γράμμα Φ) και στη συνέχεια στην Αναγέννηση από τους διασημότερους καλλιτέχνες της όπως ο DaVinci.
Ο επηρεασμός σημαντικών γλυπτών από σύγχρονους νέους κλάδους των Μαθηματικών όπως η Τοπολογία.

ΗΜΕΡΙΔΑ ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Η Επιστημονική Ένωση για τη Διδακτική των Μαθηματικών σε συνεργασία με την ομάδα Θαλής και Φίλοι, το Μουσείο Ηρακλειδών,τις Εστίες Επιστημών και με τη συμμετοχή του Καθηγητή της Ιστορίας της Αρχιτεκτονικής του Ε.Μ.Π. Μανώλη Κορρέ
διοργανώνουν ημερίδα με θέμα:
<<Εκπαιδευτικές και διδακτικές προεκτάσεις της σχέσης Μαθηματικών και Τέχνης>>
Σάββατο, 28 Νοεμβρίου 2009, 17:00-20:30, Τεχνόπολις,Πειραιώς 100, Γκάζι, Αίθουσα «Κωστής Παλαμάς», κτίριο Δ10-Είσοδος ελεύθερη
Με τη συνεργασία του 3ου και 7ου Διαμερίσματος του Δήμου Αθηναίων και την υποστήριξη της Τεχνόπολης του Δήμου Αθηναίων.
Πρόγραμμα
(17:00-17:10) Προσέλευση
(17:10-17:20) Έναρξη - Χαιρετισμοί
Α΄ Μέρος
(17:20-17:30) Επιστημονική Ένωση για τη Διδακτική των Μαθηματικών
•Χρίστος Μηλιώνης (Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών)
«Μαθηματικά και Τέχνη: Το εκπαιδευτικό ενδιαφέρον μιας σχέσης με ποικίλες διδακτικές προεκτάσεις».
(17:30-18:20) ΘΑΛΗΣ + ΦΙΛΟΙ
5 χρόνια δραστηριοτήτων της ομάδας με θέμα «Μαθηματικά και Λογοτεχνία»
•Απόστολος Δοξιάδης (Συγγραφέας, Μαθηματικός)
«Θαλής και Φίλοι: Κατασκευάζοντας γέφυρες από και προς τα μαθηματικά».
•Ηλίας Ανδριανός (Μαθηματικός)
«Το πολιτιστικό πρόγραμμα «Μαθηματικά και Λογοτεχνία» του 2ου Πειραματικού Λυκείου Αθηνών».
(18:20-18:50) Μουσείο Ηρακλειδών
4 χρόνια εκπαιδευτικών προγραμμάτων με θέμα «Μαθηματικά και εικαστικές τέχνες»
•Απόστολος Παπανικολάου (Μαθηματικός)
«Η διασύνδεση εικαστικών Τεχνών και Μαθηματικών στα εκπαιδευτικά προγράμματα του Μουσείου Ηρακλειδών».
(18:50-19:20) Εστίες Γνώσης και Επιστημών
Εκπαιδευτικά προγράμματα των Εστιών Γνώσης και Επιστημών
•Άρης Μαυρομμάτης (Μαθηματικός)
«Η επιστημονική αφίσα ως εικαστικό έργο τέχνης αλλά και εργαλείο προσέγγισης των μαθηματικών εννοιών».
(19:20-19:40) Διάλειμμα
Β΄ Μέρος
(19:40-20:20) Μαθηματικά και Αρχιτεκτονική
•Μανώλης Κορρές (Καθηγητής Ε.Μ.Π.)
«Μαθηματικά και αρχαία ελληνική αρχιτεκτονική».
Λήξη

Σάββατο, 25 Απριλίου 2009

ΜΟΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Μια μελέτη που δημοσιεύθηκε στο επιστημονικό περιοδικό βασικής έρευνας Nature τον Μάρτιο του 2000 απέδειξε ότι οι συνηχήσεις που προκύπτουν από τούς απλούς Πυθαγόρειους λόγους (2:3. 3:4, 1:2 ) έχουν και βιολογική σημασία. Κατά κάποιο τρόπο φαίνεται ότι ο ανθρώπινος εγκέφαλος είναι κουρδισμένος όπως ένα μουσικό όργανο, ώστε να συντονίζεται με αυτές τις απλές αρμονικές συνηχήσεις. Η μελέτη αυτή έδειξε ότι όταν ακούμε σύμφωνα μουσικά διαστήματα που προέρχονται . από τούς απλούς αρμονικούς λόγους 2:3, 3:4 και 1:2 το ηλεκτρικό σήμα της λειτουργίας του εγκεφάλου (ηλεκτροεγκεφαλογράφημα-ΗΕΓ) που προέρχεται απο διαφορετικές εγκεφαλικές περιοχές είναι απόλυτα συμμετρικό ενώ όταν ακούμε διάφωνα διαστήματα, δηλ. μη απλών ακεραίων αρμονικών λόγων το ΗΕΓ κατά διαφορετική εγκεφαλική περιοχή εμφανίζει μεγάλη ασυμμετρία.
(Από άρθρο του γιατρού Θανάση Δρίτσα-http://www.cardiacmusic.gr/)

Παρασκευή, 27 Μαρτίου 2009

Εκ γενετής τυφλός ζωγραφίζει προοπτικά και όχι μόνον!!

Κάτι συγκλονιστικό.Ένας εκ γενετής τυφλός ζωγράφος:

http://www.armagan.com/

http://www.youtube.com/watch?v=L3AgO6H0H98

Πέμπτη, 26 Φεβρουαρίου 2009

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ

(Απόσπασμα από σειρά άρθρων μου δημοσιευμένα στο περιοδικό "Ευκλείδης" της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.Τα άρθρα αυτά περιέχονται και στο φυλλάδιο "Τέχνη και Μαθηματικά" που διανέμεται από το μουσείο Ηρακλειδών στα σχολεία που το επισκέπτονται.)

Μια ιστορική περίοδος όπου τα Μαθηματικά με την Τέχνη είναι απόλυτα συνδεδεμένα είναι η περίοδος των Πυθαγορείων στην κάτω Ιταλία. (600 περίπου π.χ.)
Η κοινή αντίληψη για τους Πυθαγόρειους τους θεωρεί σημαντικούς και γνωστούς για το ομώνυμο Πυθαγόρειο θεώρημα. Κι όμως δεν είναι αυτή η μεγάλη συνεισφορά των Πυθαγορείων.
Από τους Πυθαγόρειους ξεκινάει μια μαθηματική αισθητική θεώρηση του σύμπαντος. Πεποίθησή τους είναι ότι τα πάντα στη φύση είναι αρμονικά συνδεδεμένα σε ένα σύστημα αριθμητικών αναλογιών. Μια από τις μεγάλες προσφορές στην ανθρωπότητα είναι η έννοια της μουσικής κλίμακας. Η μουσική, τα ωραία ακούσματα βασίζονται στη διαδοχή ήχων με συγκεκριμένο λόγο συχνοτήτων (μουσικά διαστήματα). Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν ότι συνηχούν αρμονικά δύο χορδές όταν έχουν λόγους μηκών αντίστοιχα 2:1, 3:2, 4:3 και 9:8. (Σήμερα αυτό έχει επιβεβαιωθεί από τη Φυσική με την ανάλυση Fourier και τις έρευνες του Helmholtz. Όταν δυο νότες συνηχούν, η αρμονία που παράγεται οφείλεται στην σύμπτωση των αρμονικών τους συνιστωσών και αυτό γίνεται μόνο, όταν ο λόγος συχνοτήτων τους είναι λόγος μικρών φυσικών αριθμών).
Η οκτάβα π.χ. («δια πασών» όπως λεγόταν τότε) είναι το μουσικό διάστημα που προκύπτει από το λόγο 2:1. Αν κρουσθεί δηλ. μια χορδή και ξανακρουσθεί η μισή χορδή αφού δεσμευθεί η υπόλοιπη, οι δύο ήχοι που ακούγονται είναι πανομοιότυποι αλλά σε διαφορετικό ύψος. Το επόμενο διάστημα είναι το 3:2, κατόπιν το 4:3 και έπειτα το 9:8.
Πεπεισμένοι οι Πυθαγόρειοι, ότι τα πάντα στον κόσμο (= κόσμημα από το ρήμα κοσμώ) είναι αναλογίες φυσικών αριθμών προσπάθησαν να βρουν το λόγο της διαγωνίου δ προς την πλευρά α ενός τετραγώνου αλλά και το λόγο της πλευράς προς τη διαγώνιο ενός κανονικού πενταγώνου που μάλιστα το είχαν και έμβλημά τους. Δηλαδή προσπάθησαν να βρουν ένα τμήμα μ (κοινό μέτρο) ώστε δ = κ∙μ και α = λ∙μ (οπότε ο λόγος δ/α θα ήταν ίσος με κ/λ). Οι ιστορικοί μιλάνε για μια από τις μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών και ταυτόχρονα για την πρώτη μεγάλη κρίση στα θεμέλιά τους.
Οι Πυθαγόρειοι έκαναν πρώτοι τη διαπίστωση ότι τα τμήματα δ και α είναι ασύμμετρα. Δεν είναι δυνατόν να βρεθεί ένα κοινό μέτρο όσο και αν μικραίνει το μ και έτσι ο λόγος δ/α δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα (λόγος) φυσικών. Είναι άρρητος λόγος. Οι Πυθαγόρειοι έτσι ήρθαν αντιμέτωποι με το άπειρο, την επ’ άπειρο χωρίς αποτέλεσμα ελάττωση του μ. (Με σημερινή ορολογία τα άπειρα δεκαδικά ψηφία χωρίς καμία περιοδικότητα που προσεγγίζουν έναν άρρητο αριθμό). Κατασκεύασαν όμως ένα σύστημα «ανθυφαιρετικών γνωμόνων» με το οποίο διαπίστωσαν την περιοδικότητα του (με σημερινή ορολογία) συνεχούς κλάσματος που αναπαριστά το λόγο δ/α (τη σημερινή ρίζα 2 ), και επινόησαν τους πλευρικούς-διαμετρικούς αριθμούς.

(Με σημερινούς όρους δύο ισοσυγκλίνουσες ακολουθίες στο ρίζα 2, η μια με έλλειψη και η άλλη με υπερβολή). Κατόρθωσαν έτσι να καθυποτάξουν αυτήν την απειρία και να φθάσουν στο θαυμαστό επίτευγμα να μπορούν να προσεγγίσουν οσονδήποτε το λόγο διαγώνιος/πλευρά ενός τετραγώνου .
Ένας από τους επηρεασμούς της Τέχνης από αυτές τις αναζητήσεις των Πυθαγορείων είναι ότι σε αυτούς πιστώνεται ιστορικά η πρώτη μελέτη του δεύτερου λόγου που αναφέρθηκε προηγουμένως, αυτού της διαγωνίου προς την πλευρά ενός κανονικού πενταγώνου, του περίφημου αριθμού Φ, της χρυσής τομής.

Της πιο αρμονικής διαίρεσης ενός τμήματος σε δύο άνισα τμήματα. Οι Αρχαίοι Έλληνες δεν τον ονόμαζαν ούτε Φ ούτε χρυσή τομή, τον ονόμαζαν διαίρεση σε μέσο και άκρο λόγο, όπως τουλάχιστον εμφανίζεται αργότερα στα «Στοιχεία του Ευκλείδη». Οι Ευρωπαίοι κατά την Αναγέννηση, έκπληκτοι διαπίστωσαν τη γνώση και χρήση του από τους αρχαίους Έλληνες. Τον έλεγαν θεία αναλογία (divina proportione) και έχουμε πάρα πολλές μαρτυρίες για τη χρήση του στην Αναγέννηση (Luca Paccioli, Davinci κ.α.). Χρυσή τομή τον ονόμασε ο Martin Ohm Γερμανός μαθηματικός, αδερφός του γνωστού φυσικού περίπου το 1835. Φ τον ονόμασε ο Mark Barr Αμερικανός μαθηματικός στις αρχές του 20ου αιώνα προς τιμή του Φειδία από το αρχικό του γράμμα και έκτοτε είναι γνωστός ως «number phi» ή «golden ratio».
Ο μεγάλος Kepler έλεγε ότι δύο είναι τα διαμάντια της Γεωμετρίας, το ένα είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα και το άλλο αυτή η διαίρεση σε μέσο και άκρο λόγο.
Υπάρχει μεγάλη συζήτηση για τον υπερτονισμό της αισθητικής αξίας της χρυσής τομής, αυτό όμως δεν μειώνει καθόλου την αξία της Πυθαγόρειας αναζήτησης για τις αναλογίες. Γιατί κατόπιν τη σκυτάλη πήραν οι Μαθηματικοί της Ακαδημίας του Πλάτωνος, ο Θεαίτητος και ο μεγάλος Εύδοξος. Ο Εύδοξος και αργότερα ο Αρχιμήδης έθεσαν τις βάσεις για το σύστημα των πραγματικών αριθμών στο οποίο σήμερα βασίζεται όλος ο απειροστικός λογισμός. Πιο συγκεκριμένα, ο Εύδοξος στον οποίο αποδίδεται ολόκληρο το 5ο βιβλίο των στοιχείων του Ευκλείδη έδωσε μια επέκταση της έννοιας της αναλογίας, έναν ορισμό που ουσιαστικά ισοδυναμεί με τις τομές που εισήγαγε ο μαθηματικός Dedekind (1831–1916), ως ένα τρόπο κατασκευής των πραγματικών αριθμών από το σύνολο των ρητών.
Αρκετές διδακτικές προτάσεις μπορούν να στηριχθούν σε αυτή τη συσχέτιση μουσικής και μαθηματικών ανάλογα με την τάξη.
Για παράδειγμα α)η χρυσή τομή (γεωμετρικός και αλγεβρικός ορισμός), β)η έννοια του αρρήτου με τα παραδείγματα της τετραγωνικής ρίζας 2 αλλά και της χρυσής τομής γ)ο ρόλος των αναλογιών στην κατασκευή των μουσικών κλιμάκων.
Φιλοδοξία μας είναι οι διδακτικές αυτές προτάσεις να παρουσιάζονται από τη χρονιά 2009-2010 ως ένα αυτοτελές τμήμα του προγράμματος «Τέχνη και Μαθηματικά».

Τρίτη, 24 Φεβρουαρίου 2009

«Το Μαθηματικό υπόβαθρο της Πλατωνικής θεωρίας περί Τέχνης»

ΕΙΣΑΓΩΓΗ (Αποσπάσματα από την υπό έκδοση διατριβή μου με το ομώνυμο θέμα)
Οι Πλατωνικές θέσεις για την Τέχνη έχουν γίνει αντικείμενο επίπονης μελέτης από αρκετούς μελετητές του Πλατωνικού έργου καθώς αυτές μαζί με τις αντίστοιχες Aριστοτελικές αντιλήψεις έχουν συμβάλλει καθοριστικά στη διαμόρφωση των αντιλήψεων περί Αισθητικής.
Όμως η ανησυχία και ο στόχος του Πλάτωνος δεν ήταν μια διαμόρφωση αισθητικής θεωρίας.Το πρόβλημα του Πλάτωνος είναι ίσως ένα από τα πιο διαχρονικά φιλοσοφικά προβλήματα καίριο και στη σημερινή εποχή: Είναι η μίμηση, και η εικονική πραγματικότητα (Virtual Reality), η τεχνολογία, η οποία μέσω του επηρεασμού των ανθρώπινων αισθήσεων και της παροχής της αίσθησης της προοπτικής δίνει στο χρήστη τη ψευδαίσθηση ότι βρίσκεται σε ένα υποθετικό χώρο, σε μια υποθετική κατάσταση. Το ερώτημα για το βαθμό χρήσης της στην εκπαιδευτική πράξη αλλά και στον επηρεασμό της κοινής γνώμης είναι σύγχρονο, αλλά αρχικά τέθηκε από την Πλατωνική προβληματική περί «μίμησης» και καλλιτεχνικής μίμησης ως παιδαγωγικού μέσου, μέσου διαμόρφωσης προτύπων και μέσου προσέγγισης της αληθούς γνώσης.
Σχετικά ο Ε. Η. Gombrich (ιστορικός τέχνης) στο βιβλίο του "Τέχνη και ψευδαίσθηση (εκδόσεις Νεφέλη 1995), σ.123" παρατηρεί ότι "ελάχιστες σελίδες σχετικές με τη φιλοσοφία της καλλιτεχνικής αναπαράστασης έχουν ασκήσει στην αισθητική θεωρία επίδραση ανάλογη με το χωρίο της Πολιτείας από το στίχο 596 έως τον στίχο 598".
Πολύ σύντομα στο χωρίο αυτό ένας ποιητής παρομοιάζεται με ένα ζωγράφο που απλά γυρίζει ένα καθρέφτη και δημιουργεί δουλικά αντίγραφα της πραγματικότητας.(ιμιτασιόν-imitation)
Παρακάτω ένας ποιητής παρομοιάζεται με ένα ζωγράφο ενός χαλιναριού.
Την απόλυτη γνώση της ιδέας του χαλινού (των ηνίων) την έχει μόνο αυτός που χρησιμοποιεί τα ηνία, ο αναβάτης (μεταφορικά ο κατέχων τα ηνία της πόλεως, ο σοφός νομοθέτης), αυτός με τη σειρά του οδηγεί την κατασκευή-υλοποίηση των ηνίων στον κατασκευαστή των ηνίων (τους κυβερνήτες της πόλεως)και κατόπιν τρίτος σε σειρά ο ζωγράφος ζωγραφίζει αυτά τα ηνία, χωρίς όμως να έχει την γνώση τους.Έτσι και ένας ποιητής γράφει ποιήματα μιμούμενος νομοθέτες και κυβερνήτες (στις τραγωδίες και κωμωδίες) χωρίς όμως να είναι ο ίδιος ούτε νομοθέτης ούτε κυβερνήτης χρησιμοποιώντας μόνο τη φαντασία του.Άρα είναι "τρίτος από της αληθείας" και ως τέτοιος δεν μπορεί να είναι παιδαγωγός της νεολαίας, δεν είναι ικανός να απευθύνεται στο λογικό ανώτερο τμήμα της ψυχής αλά στο κατώτερο επιθυμητικό στο τμήμα των απολαύσεων.Αυτά εν συντομία τον οδηγούν στην έξωση των ποιητών και γενικότερα των καλλιτεχνών από την ιδανική πολιτεία του.Τα επιχειρήματα αυτά ξεκομμένα από το μαθηματικό υπόβαθρο της Πλατωνικής σκέψης ακούγονται χοντροκομμένα και ασύμβατα με την αναλυτικότητά της.
Υπάρχει πράγματι σύνδεση Μαθηματικών και Τέχνης στο Πλατωνικό έργο;Και αν ναι ποια είναι αυτή;Διαφωτίζει το λόγο για τον οποίο ο μεγάλος φιλόσοφος αποβάλλει ακόμα και τον Όμηρο από την εκπαίδευση των νέων;
Καταρχήν θα πρέπει να εξετάσουμε αν πράγματι η Πλατωνική φιλοσοφία επηρεάζεται από τα Μαθηματικά.Όμως ο επηρεασμός της Πλατωνικής σκέψης από τα Μαθηματικά είναι πέραν πάσης αμφισβήτησης ακόμα και από έναν μαθηματικώς αδαή αναγνώστη και δεν είναι υπερβολή να λεχθεί ότι η πλήρης κατανόηση των σημαντικότερων θεμάτων που θίγονται στους Πλατωνικούς διαλόγους απαιτεί και την μαθηματική τους «αποκρυπτογράφηση».
Τα Μαθηματικά στο Πλατωνικό έργο έχουν εξεταστεί σε αξιόλογες εργασίες με κυριότερο βέβαια το βιβλίο «The Mathematics of Plato’ s Academy- D. Fowler» χωρίς όμως σαφή σύνδεση Μαθηματικών και Πλατωνικής φιλοσοφίας και βέβαια φιλοσοφίας της τέχνης.
Θα προσπαθήσουμε σε μια σειρά αναρτήσεων να ανακαλύψουμε το μαθηματικό υπόβαθρο της Πλατωνικής διαλεκτικής και μέσα από αυτήν τη μαθηματική της αποκρυπτογράφηση κατόπιν να κατανοήσουμε την ειδικότερη διαλεκτική περί τέχνης.

Σε μια αρχική θεώρηση της Πλατωνικής οντολογίας και γνωσιολογίας έχουμε :
1)Το αόρατο-νοητό είδος όντων, τις ιδέες και την προσέγγισή τους από «τα μαθηματικά αντικείμενα» .
2)Το ορατό είδος όντων , τα αισθητά αντικείμενα και τα «φαντάσματά» τους, τα είδωλά τους.
3)Τη σχέση μέθεξης μεταξύ των αισθητών – νοητών.
Οι ιδέες είναι οντότητες, με τη δική τους, ανεξάρτητη οντολογική υπόσταση και είναι οι αιτίες των αισθητών. Δεν υπάρχει δηλαδή τίποτα στον αισθητό κόσμο που να μην χρωστά την οντολογική του υπόσταση απόλυτα στις ιδέες. Ο αισθητός κόσμος είναι μια εικόνα του αρχετύπου νοητού.
Στον «Παρμενίδη» σημειώνεται ότι και το παραμικρό σκουπίδι αναφέρεται και έχει σχέση με μια ιδέα.
Σχετίζονται και τεκμηριώνονται όλα αυτά στη βάση μιας Μαθηματικής θεωρίας την οποία είχε υπόψη του ο Πλάτων;Αυτός είναι ο ισχυρισμός μας και με τα επόμενα θα προσπαθήσουμε να το αποδείξουμε. Κατόπιν θα δούμε, πως αυτό το πλαίσιο της Πλατωνικής διαλεκτικής εφαρμόζεται στην Τέχνη και οδηγεί τον Πλάτωνα στην έξωση των ποιητών ακόμα και του Ομήρου από την ιδανική Πολιτεία του.
Η Πλατωνική σκέψη όμως ακολούθησε τα χνάρια των προηγηθέντων Πυθαγορείων και Ελεατών φιλοσόφων που κι αυτοί με τη σειρά τους ακολούθησαν τα χνάρια των Ιώνων.
(Συνεχίζεται...)

Τρίτη, 20 Ιανουαρίου 2009

ΜΟΥΣΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΔΩΝ-ΘΗΣΕΙΟ-ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ


Στην καρδιά της Αθήνας, στην οδό Ηρακλειδών στο Θησείο, δίπλα στην Ακρόπολη, από το 2004 το μουσείο Ηρακλειδών αποτελεί ένα πολιτιστικό κόσμημα της ιστορικής περιοχής και προσφέρει πλούσιες μορφωτικές δραστηριότητες.
Μόνιμες συλλογές ! M.C. Escher και Victor Vasarely.
Τωρινή έκθεση : M.C.Escher (1898-1972) "Από το Προσχέδιο στο Αριστούργημα" - Δεύτερη Ενότητα: "Ιταλική Περίοδος" έως 18/4/2009
http://www.herakleidon-art.gr/el/

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: "ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ"

Επιμέλεια-Σχεδιασμός:Απόστολος Παπανικολάου,Μαθηματικός.
apapani@math.uoa.gr, http://maths-art.blogspot.com/

Οι μαθητές οδηγούνται μέσα από παράλληλη περιήγηση στην ιστορία αφενός της Τέχνης και αφετέρου των Μαθηματικών, στην αναζήτηση των σημείων όπου συναντώνται και αλληλοεπηρεάζονται οι δυο αυτοί τομείς της ανθρώπινης σκέψης και δράσης.Παράλληλα από τα μόνιμα εκτιθέμενα έργα των ESCHER και VASARELY εισάγονται αβίαστα στη φύση και κυρίως στη φιλοσοφία σημαντικών Μαθηματικών εννοιών.

Περιγραφή προγράμματος ανά τάξη
Μέρος πρώτο : (Αίθουσα προβολών- διάρκεια 1 ώρα)
Γενικό μέρος (που αναπτύσσεται αρχικά σε κάθε τάξη)
1)Παράλληλη περιήγηση στην ιστορία της Τέχνης και των Μαθηματικών με έμφαση στη γεωμετρική περίοδο της Ελληνικής τέχνης, στην κλασική τέχνη (Παρθενών-αναλογίες-χρυσή τομή), στην ανάλυση της γραμμικής προοπτικής (αναγέννηση), στη γεωμετρία της μοντέρνας τέχνης (κυβισμός, κονστρουκτιβισμός,Bauhauss) και τέλος στην σύγχρονη λεγόμενη "μαθηματική τέχνη" των fractals.
2)Σύντομη γενική ενημέρωση για τη ζωή και την τεχνοτροπία των καλλιτεχνών,(Τoulouse Lautrec,, Escher, Vasarely) έργα των οποίων φιλοξενούνται στο μουσείο.

Ειδικότερα κατόπιν ανά τάξη:
Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ:
Αναζήτηση του γεωμετρικού υποβάθρου συγκεκριμένων κατάλληλων πινάκων του Escher και του Vasarely.Οι μαθητές καλούνται να ερευνήσουν τη δομή επιλεγμένων πινάκων και αν είναι δυνατόν να τους αναπαράγουν χρησιμοποιώντας μόνο μολύβι, χάρακα και διαβήτη. Είναι προφανές ότι γι αυτό θα χρειαστεί να αποδομήσουν Μαθηματικά τους πίνακες και άρα να υπεισέλθουν σε Μαθηματικές έννοιες.
Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ:
Εισαγωγή στους βασικούς μαθηματικούς μετασχηματισμούς (αξονική συμμετρία, κεντρική συμμετρία , παράλληλη μεταφορά, στροφή) και αναζήτηση αυτών αργότερα κατά τη διάρκεια της ξενάγησης στο μουσείο.
Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ:
Σύνδεση με τη διάκριση "είναι και φαίνεσθαι" της τραγωδίας "Ελένη" του Ευριπίδη που διδάσκονται στο σχολείο με το φιλοσοφικό αλλά και μαθηματικό "είναι και φαίνεσθαι". Συνειδητοποίηση της ανάγκης για τη χρησιμοποίηση της σκέψης και της απόδειξης, χρησιμοποιώντας κατάλληλους πίνακες όπου η «διαίσθηση» οδηγεί σε λάθος συμπεράσματα.
Έννοια της συνάρτησης και της αντίστροφης συνάρτησης.
Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Χρήση κατάλληλων πινάκων-οφθαλμαπατών για την εμπειρική και κατόπιν θεωρητική εξαγωγή των κριτηρίων παραλληλογράμμου.Ο πίνακας «Verbum» (=λόγος) του Escher ως προβληματισμός για τον ορισμό της μαθηματικής έννοιας του λόγου (αναλογία) και τις φιλοσοφικές προεκτάσεις της. Εναλλακτικά εισαγωγή στις μη ευκλείδειες γεωμετρίες.
Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Αξιοποίηση πινάκων - πλακοστρώσεων του Escher για τη μελέτη της κανονικής και ημικανονικής κάλυψης του επιπέδου. (Με κανονικά και ημικανονικά πολύγωνα αντίστοιχα).Εναλλακτικά τα παράδοξα του Ζήνωνος ως παρακαταθήκη για την εισαγωγή στην έννοια του ορίου και της αυτοομοιότητας.
Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Αξιοποίηση κατάλληλων πινάκων για την διαπραγμάτευση της έννοιας του ορίου,του απειροστού και του απείρου.Το διακριτό, το συνεχές και οι φιλοσοφικές τους προεκτάσεις.Η αριθμησιμότητα του συνόλου των φυσικών, η πυκνότητα του συνόλου των ρητών αριθμών και η υπεραριθμησιμότητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών.Έννοια της συνάρτησης και της αντίστροφης συνάρτησης.
Η έννοια της Μαθηματικής δομής.
Μέρος δεύτερο : (διάρκεια 50 ΄ )
Ξενάγηση και αλληλεπίδραση με τα έργα των καλλιτεχνών στη βάση των όσων συζητήθηκαν αλλά και σε ότι οι μαθητές παρατηρούν εύστοχα.

Μέρος τρίτο : (διάρκεια 10 ΄ )
Επιστροφή στην αίθουσα προβολών και συμπλήρωση εντύπου αξιολόγησης για την ανατροφοδότηση του εκπαιδευτικού προγράμματος, όπου οι μαθητές καταγράφουν ανώνυμα τις παρατηρήσεις τους για το πρόγραμμα που παρακολούθησαν, ένα σύντομο συμπέρασμα για το αν και τι αποκόμισαν καινούργιο από τη συνολική δραστηριότητα, ενδεχόμενα συναισθήματα, ελεύθερες σκέψεις και προβληματισμούς.
Αριθμός μαθητών : 25 - 30 άτομα
Ώρες : πρωί, μεταξύ 9:00 - 14:00
Διάρκεια : 2 ώρες
ΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΙΝΑΙ ΕΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΑΠΟ ΤΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΕΡΕΤΑΙ ΔΩΡΕΑΝ ΣΕ ΜΑΘΗΤΕΣ & EΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥΣ

Προσφορά σε κάθε μαθητή μίας έκδοσης του Μουσείου, Εκπαιδευτικού Περιεχομένου
Για συμμετοχή παρακαλείσθε για κράτηση κατόπιν τηλεφωνικής επικοινωνίας με την Υπεύθυνη του Εκπαιδευτικού Τμήματος του Μουσείου , κυρία Ελένη Μ. Νομικού, τηλ.: 210 34 61 981 enomikou@herakleidon-art.gr

Τετάρτη, 30 Ιουλίου 2008

THE LINE BETWEEN MATHEMATICS AND ART

(Article by Apostolis Papanikolaou – museum Herakleidon Athens)

M. C. Escher spent his artistic enterprise representing ideas “that overwhelmed him to such an extent he felt he had to share them with others”, “constantly crossing the line between Mathematics and Art”.

Given the limited amount of space, this text does not naturally aspire to expound on the mathematical and philosophical background of M. C. Escher’s artistic representations or pursuits but rather to serve as a reference guide for further and more in-depth search.

The bounds of Mathematics and Art were defined 2500 years ago by Plato in the tenth book of his dialogue Republic, where, having previously (in the fourth book ibid.) divided the psyche into two parts, a superior (logic) and an inferior (willful/ wishful) one, he went on to regard Mathematics as connected to the reasoning (logical) part while Art as connected to the inferior (emotional) part.

Having studied Plato’s treatment of Art, I stand assured that if Plato were to come to life and lay eyes on Escher’s works, he would recognize in the latter’s face one of the artists that he so passionately sought for his ideal State: «Seeking those creators that are intelligently able to search out the nature of the good and the decent», while he rejected the imitators who drew “merely holding a mirror up to nature”, thus ascribing it superficial, external characteristics. These are the words that Plato used some 2500 years ago to place artistic representation up on a high pedestal, refusing to consider Art a realistic-slavish depiction of reality. In another of his dialogues, “Philebus”, his description of the absolutely beautiful is reserved for the kind of drawing that uses geometrical shapes as its basic components. Many took this as a warning sign for the appearance of 20th century Modern Art, which, in the words of Paul Klee, “does not reproduce the visible; rather it makes visible”.

Observing Escher’s works, one perceives Plato’s very urge in “Philebus” come true. For the works’ basic constituents are geometrical shapes indeed and the existence of a mathematical substratum evident. But where does the purely mathematical background begin and where does Art come in?

The divide between Mathematics and Art, as it was conceived by Escher himself, becomes apparent in one of his 1958 passages Regular Division of the Plane. The text is about his renowned tessellations (repeated tilings), which by 1936 he had already devised, after the respective Arabian style, a technique he picked up while visiting Spain for the second time and through which he created his own tilings, using animal images (which the Koran prohibited Arab artists to use).

“The regular division of the plane has been theoretically examined by mathematicians ... Does this mean that it is a purely mathematical concern? Not
if you ask me. Mathematicians have opened the gate leading to an extensive domain but they themselves have not entered this domain. For, by nature, they are interested in the way the gate opens rather than in the garden that lies behind that gate ...”

Evidently, Escher could clearly make out the special aesthetic value that can result from the artistic representation of mathematical-philosophical concepts.

Mathematicians are not in search of the beautiful so much as the true. They seek out the structure of an appearance, and it is not necessarily a beautiful structure. Even symmetry is a structure conditional on another wider structure. Mathematics presents a mathematician with an intrinsically familiar aesthetic ring but which is inaccessible to the ordinary average mind. As well-known researcher-mathematician Thanasis Fokas puts it: “The existence of aesthetics in Mathematics is conditional, for Mathematics expresses truth, and beauty is the hallmark of truth.”

So, Escher determined to enter the “realm” of Mathematics and draw from it anything he could have artistically represented, thus enabling even the non-mathematician layman art-lover to perceive this kind of beauty.

As we have already mentioned, his first “visit” to the mathematical realm was the regular and semi-regular plane tessellation.

In October 1937, Escher showed some of his new works to his brother Berend, a geology professor with Leiden University at the time, while they were both visiting their parental home in the Hague. Berend, acknowledging a connection between those woodcuts and crystallography, sent his brother a list of articles that he felt would help him. That was Escher’s first encounter with Mathematics.

Escher paid special attention to an article by mathematician Polya, which referred to plane symmetry groups and from which he was able to get a very good grasp of the 17 plane symmetry groups that were described.

Between 1937 and 1941, Escher worked on periodic tilings, producing 43 coloured drawings that exhibited a wide range of symmetry types.

In 1941, Escher wrote his first article, entitled Regular Division of the Plane with Asymmetric Congruent Polygons, through which he practically researched the artistic representation of themes in crystallography.

In 1954, he met mathematician Coxeter, one of the 20th century’s (1907-2003) greatest geometricians, and they became close friends. Through their correspondence, as well as the study of articles and books suggested by Coxeter, Escher re-entered a mathematical realm, that of non-Euclidean Geometries. The hyperbolic Geometry model, already introduced by Poincare, as well as other similar models, led Escher to the creation of a series of woodcuts, entitled Circle Limit I-IV, a sample of which, Circle Limit III, you can see below.

Coxeter published a series of articles in which he admiringly commented on Escher’s works. One such article was The Non-Euclidean Symmetry of Escher’s Picture ‘Circle Limit III’ – Leonardo – 1979.

Escher’s contact with another great mathematician, Sir Roger Penrose, brought him into the field of topology and the impossible figures that Swedish artist Oscar Reutesvärd had already introduced. The “impossible triangle” and the “impossible scale” inspired him into creating his own impossible forms: Waterfall, Relativity, Ascending and Descending, and so on.

The big question that arises from this series of works, which held Escher’s fascination, is how the brain can “read” reality through pictures. To what extent is the knowledge of an object feasible through its mere image? The great surprise is that these representations, which at first sight seem impossible, can actually be images of existing objects!

Swiss crystallographer Necker’s ambiguous cube and the three-dimensional cube, an impossible form, inspire Escher into creating the “Belvedere”.

Still drawing on the field of Topology and in a uniquely artistic way he represents Moebius strip: a seemingly double-faced surface which is in reality single-sided and “non-orientable”. Ants do not live in separate compartments and are able to meet. In his works Print Gallery and Cube with Ribbons he explores the logic and topology of space.

Escher could not have stood indifferent to mathematicians’ probes into the concepts of truth and falsehood, the foundation of Logic and the production of thinking machines, i.e. Artificial Intelligence. The woodcut entitled “Drawing Hands” depicts the problem-concept of self-reference, a sentence by which a person referring to themselves attaches an attribute, or predicate, to them. A historical self-referencing proposition is the one put down to Cretan Epimenides: “All Cretans lie”. The search for the truth or falsehood of this assertion leads to continuous contradictions. A ‘logical’ machine, a computer, cannot decide on the truth or falsehood of such a proposition. But let us have a look at the proposition underlying Escher’s woodcut: A painter’s hand can draw anything. If this holds true, can the drawing hand draw itself in the act of drawing?

But beyond the matters of typical Logic and Artificial Intelligence that this woodcut raises, there is also the great philosophical matter of self-awareness to consider. Only through cognizance can a cognizant being represent, and thus come to know, itself. A painter’s hand is, in Escher’s case, the hand of cognizance that can draw its very image.

Escher’s frequent and favourite concern was to offer his idea of the creation of the Universe and how it evolved. His way was invariably geometrical and profoundly inspired by diachronic philosophy, a thought which pervades his painting “Verbum” (logos):

To ancient Greeks, Apollo, who is shown in the middle, was the god of the sun, but also that of Logic. The Universe was created through mathematical ratio – specific arithmetic and geometric analogies – this is why to come to know it is “true opinion (belief) with an account (logos)” (Plato – Theaetetus).

The concept of self-similarity, that is a property according to which certain shapes exhibit the same structure in any scale change and are thus similar to one or more of their parts, is clearly shown in the painting entitled Exploring the Infinite 116.

What is shown in the paintings entitled Depth and Cubispace is the concept of discreet infinity, while in Limitsquare we can see the concepts of the infinitesimal and limit. But, of course, there is a long list of similar samples.

Plane symmetry groups, impossible figures-topology, space tessellation, self-similarity, hyperbolic geometries, reasoning paradox and the philosophy of creation all found their way into Escher’s works, through unparalleled artistic representation.

Can the deservedness of the gratitude and respect to which Escher has been – and still is – held by mathematicians and other scientists alike be questioned?

Κυριακή, 8 Ιουνίου 2008

VICTOR VASARELY ΚΑΙ ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ

Γραμμική προοπτική (Linear Perspective)

Van Gogh


Μια σύγχρονη επιστημονική έρευνα – ανάλυση έργου τέχνης από τη σκοπιά των θετικών επιστημών έχουμε στον VanGogh , ιμπρεσιονιστή και κατά πολλούς πρόδρομο του εξπρεσιονισμού.
Έτσι ο φυσικός Χοσέ Λουί Αραγκόν, με ομάδα ερευνητών στο Εθνικό Αυτόνομο Πανεπιστήμιο του Μεξικού προσπάθησε να ποσοτικοποιήσει παρόμοιους πίνακες με τον παραπάνω.
Οι φυσικοί αυτοί διαπιστώνουν ότι oι χαοτικές δίνες που χαρακτηρίζουν πίνακες του Βαν Γκογκ σαν την έναστρη νύχτα ακολουθούν με ακρίβεια τις μαθηματικές περιγραφές των αναταράξεων σε ρευστά υλικά, όπως οι στροβιλισμοί του νερού σε ένα ταραγμένο ρυάκι ή οι πραγματικοί ανεμοστρόβιλοι.
Η ανάλυση των πινάκων στον υπολογιστή αποκάλυψε ένα μοτίβο φωτεινών και σκοτεινών περιοχών που ακολουθούν τις εξισώσεις του Αντρεϊ Κολμογκόροφ, που τη δεκαετία του 1940 κατάφερε να περιγράψει εν μέρει τη δυναμική του στροβιλισμού των ρευστών.
Οι ταραγμένοι ουρανοί στην Έναστρη Νύχτα (1889) και στο Δρόμος με Κυπαρίσσι και Αστρο (1890), μεταξύ άλλων, παρουσιάζουν τη λεγόμενη «κλιμάκωση Κολμογκόροφ», εξισώσεις που δίνουν την πιθανότητα δύο οποιοδήποτε σημεία του ρευστού να έχουν μια δεδομένη διαφορά ταχύτητας.
Το παράξενο μάλιστα είναι ότι η δυναμική των ρευστών ανιχνεύεται μόνο στους πίνακες που ζωγράφισε η διαταραγμένη μεγαλοφυΐα όταν ήταν πνευματικά ασταθής, και όχι στην «ήρεμη» περίοδο της ζωής του, όταν ακολουθούσε φαρμακευτική αγωγή για τις κρίσεις του.
Έτσι, μετά τον αυτοακρωτηριασμό του αφτιού του, ο Βαν Γκογκ φαίνεται ότι είχε χάσει τη μαθηματική του ακρίβεια. Την περίοδο εκείνη ο καλλιτέχνης βρισκόταν σε κατάσταση «απόλυτης ηρεμίας» λόγω του βρωμιούχου καλίου που του χορηγήθηκε.
«Πιστεύουμε ότι ο Βαν Γκογκ είχε μια μοναδική ικανότητα να απεικονίζει αναταράξεις σε περιόδους παρατεταμένης ψυχωτικής αναστάτωσης» σχολιάζει ο Αραγκόν στη μελέτη του που δημοσιεύεται στο διαδικτυακό αρχείο arXiv.org.
http://www.arxiv.org/PS_cache/physics/pdf/0606/0606246.pdf

Πέμπτη, 5 Ιουνίου 2008

M.C. ESCHER "ΑΠΟ ΤΟ ΠΡΟΣΧΕΔΙΟ ΣΤΟ ΑΡΙΣΤΟΥΡΓΗΜΑ".10 Οκτωβρίου 2008 - 25 Οκτωβρίου 2009


Ταινία του Moebius: Μια επιφάνεια μιας "όψεως".
Το Μουσείο Ηρακλειδών θα παρουσιάσει για δεύτερη φορά τη σπάνια συλλογή του με έργα του διάσημου Ολλανδού χαράκτη. Τα εκθέματα θα εναλλάσσονται περιοδικά, ενώ εκτός από τα πιο δημοφιλή έργα του, η έκθεση θα περιλαμβάνει πρωτοεμφανιζόμενα στο ευρύ κοινό προσχέδια, σχέδια και χαρακτικά.

Ο M.C. Escher γεννήθηκε στις 17 Ιουνίου του 1898, στο Leeuwarden, μία πόλη της βόρειας Ολλανδίας. Από μικρός έδειξε το ιδιαίτερο ταλέντο του στο σχέδιο. Ήδη από την εποχή της μέσης εκπαίδευσης έφτιαχνε τις πρώτες του λινοτυπίες, με τη βοήθεια του καθηγητή του των καλλιτεχνικών. Οι γονείς του τον προέτρεψαν να σπουδάσει αρχιτεκτονική κι έτσι γράφτηκε στη σχολή Αρχιτεκτονικής και Διακοσμητικού Σχεδίου, του Haarlem όπου σπούδασε από το 1919 ως το 1922.
O Escher γρήγορα αντιλήφθηκε ότι η αληθινή του αγάπη ήταν το σχέδιο και οι γραφικές τέχνες, και από εκείνη τη στιγμή και μετά αφιερώθηκε σ' αυτές.
Αφού τελείωσε τις σπουδές του το 1922, μετακόμισε στην Ιταλία και εγκαταστάθηκε στη Ρώμη το 1924. Περιηγήθηκε τη χώρα από το 1923 έως το 1935 αλλά παράλληλα επισκέφτηκε και τη Γαλλία και την Ισπανία όπου επισκέφτηκε την Αλάμπρα, ένα παλάτι των Μαυριτανών του 13ου αιώνα στη Γρανάδα και το μουσουλμανικό τέμενος της Κόρδοβα. Εκεί ήρθε σε επαφή με τη διακοσμητική δεξιοτεχνία των καλλιτεχνών του Ισλάμ, εντυπωσιάστηκε από τα μαυριτανικά μωσαϊκά και τα γεωμετρικά μοτίβα που διακοσμούσαν τους τοίχους των κτιρίων του παλατιού .
Στο διάστημα αυτό επικεντρώθηκε στην ορατή πραγματικότητα με τη δημιουργία ρεαλιστικών τοπίων και εικόνων.
Το 1934 έφυγε από την Ιταλία,πέρασε δυο χρόνια στην Ελβετία και 5 στις Βρυξέλλες για να εγκατασταθεί οριστικά στην Ολλανδία όπου πέθανε το 1972 σε ηλικία 73 ετών.
Από το 1937 και μετά το τελευταίο του ταξίδι μελέτης στην Αλάμπρα, το έργο του Escher χαρακτηρίστηκε από μια στροφή.Όπως έγραψε ο ίδιος, ιδέες άρχισαν να τον κατακλύζουν και αισθανόταν την ανάγκη να τις μεταδώσει και σε άλλους ανθρώπους.Και οι ιδέες αυτές ήταν κατά βάση από τις σοβαρότερες και συνάμα γοητευτικότερες μαθηματικές και φιλοσοφικές ανησυχίες του εικοστού αιώνα.
Η πρώτη του επαφή με τα Μαθηματικά ήταν όταν αποφάσισε να δώσει ζωή,χρησιμοποιώντας πουλιά και ψάρια, φυτά και ανθρώπους στα γεωμετρικά σχέδια των Μαυριτανών της Αλάμπρας που για θρησκευτικούς λόγους είχαν παντελή απουσία κάθε έμψυχης μορφής.
Τα συμπεράσματα των γεωμετρών και των κρυσταλλογράφων για τις πλακοστρώσεις του επιπέδου και του χώρου θα τα χαρακτηρίσει “ανοικτή πόρτα των μαθηματικών” και θα αναγνωρίσει την εξαιρετική επίδρασή τους στο έργο του.
Διασχίζοντας συνεχώς όπως πάλι ο ίδιος έλεγε το σύνορο μεταξύ Μαθηματικών και Τέχνης μας άφησε έναν πλούτο έργων με απαράμιλλες απεικονίσεις εννοιών όπως το άπειρο και το απειροστό, τις μη ευκλείδειες Γεωμετρίες,τη συνύπαρξη του καλού με το κακό,την εξέλιξη του Σύμπαντος και πολλά άλλα.
Από τη δεκαετία του '50 έγινε αγαπημένος καλλιτέχνης πολλών μαθηματικών και επιστημόνων.Σήμερα όμως όλοι του αναγνωρίζουν τη συμβολή του στη γεφύρωση του χάσματος μεταξύ επιστήμης και τέχνης.

Παρασκευή, 28 Μαρτίου 2008

ΠΑΡΘΕΝΩΝ

Τι άραγε είναι αυτό που κάνει απαράμιλλο αισθητικά ένα κτίριο σαν τον Παρθενώνα;
ΠΑΡΘΕΝΩΝ (ΑΥΘΕΝΤΙΚΟΣ)

ΠΑΡΘΕΝΩΝ (ΑΝΤΙΓΡΑΦΟ)

Από το 1896 στο Centennial Park της πόλης Nashville(Tennessee,USA)υπάρχει χτισμένος ναός αντίγραφο του Παρθενώνα με όλα τα γλυπτά (πάντα σε αντίγραφα βέβαια)και λειτουργεί ως μουσείο με εισπράξεις κλπ.

Proportions of Parthenon, according Tons Brunes

Σάββατο, 1 Μαρτίου 2008

Ο ΑΙΝΣΤΑΙΝ ΓΙΑ ΤΗ ΣΧΕΣΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗΣ

n"Εκεί που ο κόσµος παύει να είναι η σκηνή για τις προσωπικές ελπίδες και επιθυµίες , εκεί που τον παρατηρούµε µε απορία , αναρωτιόµαστε για αυτόν και τον µελετάµε εκεί είναι η είσοδος στο βασίλειο της τέχνης και της επιστήµης .
nΕάν µεταφράσουµε αυτό που νιώσαµε και παρατηρήσαµε µε τη γλώσσα της λογικής , τότε κάνουµε επιστήµη ,
nAν το δείξουµε µε µορφές των οποίων οι σχέσεις δεν είναι προσιτές στην ενσυνείδητη σκέψη αλλά αναγνωρίζονται µε τη διαίσθηση ως µεστές νοήµατος τότε κάνουµε τέχνη."

Τρίτη, 19 Φεβρουαρίου 2008

ΕΛΥΤΗΣ-ΑΞΙΟΝ ΕΣΤΙ

«…και πολλά μέλλει να μάθεις
αν το Ασήμαντο εμβαθύνεις
Και μια μέρα θα 'ρθει βοηθούς ν' αποκτήσεις…»
Τι άραγε θέλει να πει ο ποιητής;

Να εμβαθύνουμε στα ασήμαντα, τα τετριμμένα και όχι στα σημαντικά;
Η δική μου ταπεινή ανάγνωση παραπέμπει όχι βέβαια σε αυτό που δεν έχει αξία, το τιποτένιο, αλλά σε αυτό που δεν σημαίνεται, το άμεμπτο κι αλεύκαντο που αλλού αναφέρει πάλι ο ίδιος ποιητής.
Τι είναι αυτό που δεν σημαίνεται και πολλά μέλλει να μάθουμε αν εμβαθύνουμε σε αυτό; Μα βέβαια το νοητό , εκείνο που δεν απεικονίζεται ή τουλάχιστον δεν απεικονίζεται και δεν αναγνωρίζεται εύκολα.
Εδώ είναι η συνάντηση τέχνης και Μαθηματικών. H προσπάθεια να εμβαθύνουμε στο ασήμαντο σε αυτό που δεν βλέπουμε, δεν ακούμε, δεν μυρίζουμε γίνεται μέσω της τέχνης και των Μαθηματικών. Τα Μαθηματικά με τη γλώσσα της λογικής , η τέχνη με τη διαίσθηση, το συναίσθημα.Μα υπάρχουν πράγματα τέτοια θα πει κανείς; Τότε τι είναι η δικαιοσύνη, η ελευθερία; Ακουμπιούνται, μυρίζονται ή μήπως βλέπονται; Μιλάω λοιπόν για τον κόσμο των ιδεών , των εννοιών αν ενοχλεί κάποιους ο Πλάτων.

Σε βλέπω πάντα που κυλάς.

Γειά πές μου,ψίχαλο,που πάς;

Που πάς ομπρός οπίσω;

Τον κόσμο να φωτίσω.

Διονύσιος Σολωμός

Σάββατο, 16 Φεβρουαρίου 2008

Αυτοομοιότητα (Self-similarity)


Η αυτοομοιότητα σε πίνακα του Escher (επάνω) και στη φύση (κάτω).
Αυτοομοιότητα είναι η ιδιότητα ενός σχήματος να είναι όμοιο με ένα ή περισσότερα τμήματά του.Έτσι στο κλαδί της φτέρης οποιοδήποτε φυλλαράκι της και αν μεγεθύνουμε θα πάρουμε ένα μεγαλύτερο φύλλο αλλά και το συνολικό κλαδί.Για έναν αυστηρό ορισμό της αυτοομοιότητας δείτε: http://en.wikipedia.org/wiki/Self-similarity .
Ένα από τα πρώτα Μαθηματικά αυτοόμοια σχήματα (που παράγονται από το γράφημα μιας συνάρτησης στην οποία δίνουμε τιμές με μια επαναληπτική διαδικασία) παρουσιάσθηκε από τον Πολωνό Mandelbrot το 1980.
Όμως το πρώτο fractal (σχήμα με την ιδιότητα της αυτοομοιότητας) δε μελετήθηκε από τον Mandlebrot! Το πρώτο fractal που μελέτησε ο άνθρωπος με τα μέχρι τώρα ιστορικά στοιχεία και τις σχετικές έρευνες του καθηγητή Στέλιου Νεγρεπόντη (Μαθηματικό Αθήνας) ήταν η χρυσή τομή και η τετραγωνική ρίζα του 2 (Οι Πυθαγόρειοι και όχι βέβαια με αυτήν την σημερινή ορολογία αλλά με την αυτοομοιότητα των "ανθυφαιρετικών γνωμόνων"). Αργότερα στην Ακαδημία ο Θεαίτητος απέδειξε ότι όλες οι τετραγωνικές ρίζες των φυσικών αριθμών που δεν είναι τετράγωνα άλλων φυσικών (π.χ. 2,3,5,6,7,8,10,11 κ.λ.π) έχουν ανάπτυξη σε συνεχές κλάσμα που είναι περιοδικό. (Θεώρημα που απέδειξε ο Θεαίτητος)
Επίσης τα παράδοξα του Ζήνωνος έχουν ως μαθηματικό υπόβαθρο την ιδιότητα της αυτοομοιότητας.
Εν τω μεταξύ οι διάλογοι του Πλάτωνα διέπονται από αυτήν ακριβώς την καθαρά μαθηματική ιδιότητα μεταφερμένη σε φιλοσοφικό επίπεδο.Τελικά τα fractals είναι αρκετά παλιά ιστορία!!!

Αυτοαναφορά (self reference)


Μπορεί η έννοια της αυτοαναφοράς να απεικονισθεί σε πίνακα;
Κι όμως ο Escher το κατάφερε.
Κι όχι μόνον ο Escher αλλά και ο Rene Magritte:



Τι είναι όμως αυτοαναφορά; (Θα επανέλθω)

Παρασκευή, 15 Φεβρουαρίου 2008

ΕΣΤΙΑ ΓΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ


Γνωρίζετε τι είναι οι εστίες Γνώσης και Επιστημών;Αν όχι δείτε εδώ την εστία Γνώσης Χαλκίδας :http://www.estiagnosis.gr

math art =art ?



Είναι τέχνη η λεγόμενη μαθηματική τέχνη;Η παραγωγή δηλαδή εικόνων μέσω μαθηματικών τύπων;
Η πάνω εικόνα είναι ένας κλασικός ιμπρεσιονιστικός πίνακας του Monet ενώ η κάτω μια εικόνα που παρήγαγε σε υπολογιστή μέσω μαθηματικού τύπου η μαθηματικός Anne Burns (http://mathartfun.com/shopsite_sc/store/html/AnnBurns.html).
Δείτε συγκρίνετε και αποφασίσετε.

Πέμπτη, 14 Φεβρουαρίου 2008

Βαθμοί πραγματικότητας ενός έργου τέχνης


Ανταποκρίνεται ένα έργο τέχνης σε κάποια πραγματικότητα και σε ποιο βαθμό;
Ο Πλάτων θεωρούσε ένα ζωγραφικό πίνακα μίμηση "πόρρω απέχουσα της αληθείας", τoν έθετε στο επίπεδο της δόξας (γνώμης) όχι κατ ανάγκην ορθής,ως ένα αρχικό απόκομμα της άπειρης ακολουθίας των γνωρισμάτων (ειδών)μιας έννοιας.
Ο σύγχρονός μας καλλιτέχνης Κώστας Ξενάκης θεωρεί ότι ένα έργο του αποκτά οντότητα όταν έστω και ένας αναγνώστης-θεατής του βρει κάποιο νόημα σε αυτό.
Για παράδειγμα υπάρχει κάποια πραγματικότητα στο παραπάνω έργο του Escher;

Παρασκευή, 1 Φεβρουαρίου 2008

"Της αισθήσεως ουδέν υγιές ποιούσης"-Πλάτων-Πολιτεία



Άμα δείτε τις παρακάτω εικόνες από τη θέση του υπολογιστή σας, ο κ.Θυμωμένος είναι στα αριστερά και η κ.Ήρεμη στα δεξιά.

Σηκωθείτε από τη θέση σας, κάντε λίγο πίσω και δείτε!! Αλλάζουν μεριές!!

Αυτή η παραίσθηση δημιουργήθηκε από τους Aude Oliva (Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, USA) and Philippe G. Schyns (University of Glasgow, Glasgo,w UK). Εκτέθηκε για πρώτη φορά στο exploratorium του San Francisco και δημοσιεύτηκε στο journal Cognition, 69, 243-265, 1999.

Αυτό αποδεικνύει ότι ίσως να μη βλέπουμε πραγματικά αυτό που υπάρχει, πάντα;