Τετάρτη, 30 Ιουλίου 2008


(Article by Apostolis Papanikolaou – museum Herakleidon Athens)

M. C. Escher spent his artistic enterprise representing ideas “that overwhelmed him to such an extent he felt he had to share them with others”, “constantly crossing the line between Mathematics and Art”.

Given the limited amount of space, this text does not naturally aspire to expound on the mathematical and philosophical background of M. C. Escher’s artistic representations or pursuits but rather to serve as a reference guide for further and more in-depth search.

The bounds of Mathematics and Art were defined 2500 years ago by Plato in the tenth book of his dialogue Republic, where, having previously (in the fourth book ibid.) divided the psyche into two parts, a superior (logic) and an inferior (willful/ wishful) one, he went on to regard Mathematics as connected to the reasoning (logical) part while Art as connected to the inferior (emotional) part.

Having studied Plato’s treatment of Art, I stand assured that if Plato were to come to life and lay eyes on Escher’s works, he would recognize in the latter’s face one of the artists that he so passionately sought for his ideal State: «Seeking those creators that are intelligently able to search out the nature of the good and the decent», while he rejected the imitators who drew “merely holding a mirror up to nature”, thus ascribing it superficial, external characteristics. These are the words that Plato used some 2500 years ago to place artistic representation up on a high pedestal, refusing to consider Art a realistic-slavish depiction of reality. In another of his dialogues, “Philebus”, his description of the absolutely beautiful is reserved for the kind of drawing that uses geometrical shapes as its basic components. Many took this as a warning sign for the appearance of 20th century Modern Art, which, in the words of Paul Klee, “does not reproduce the visible; rather it makes visible”.

Observing Escher’s works, one perceives Plato’s very urge in “Philebus” come true. For the works’ basic constituents are geometrical shapes indeed and the existence of a mathematical substratum evident. But where does the purely mathematical background begin and where does Art come in?

The divide between Mathematics and Art, as it was conceived by Escher himself, becomes apparent in one of his 1958 passages Regular Division of the Plane. The text is about his renowned tessellations (repeated tilings), which by 1936 he had already devised, after the respective Arabian style, a technique he picked up while visiting Spain for the second time and through which he created his own tilings, using animal images (which the Koran prohibited Arab artists to use).

“The regular division of the plane has been theoretically examined by mathematicians ... Does this mean that it is a purely mathematical concern? Not
if you ask me. Mathematicians have opened the gate leading to an extensive domain but they themselves have not entered this domain. For, by nature, they are interested in the way the gate opens rather than in the garden that lies behind that gate ...”

Evidently, Escher could clearly make out the special aesthetic value that can result from the artistic representation of mathematical-philosophical concepts.

Mathematicians are not in search of the beautiful so much as the true. They seek out the structure of an appearance, and it is not necessarily a beautiful structure. Even symmetry is a structure conditional on another wider structure. Mathematics presents a mathematician with an intrinsically familiar aesthetic ring but which is inaccessible to the ordinary average mind. As well-known researcher-mathematician Thanasis Fokas puts it: “The existence of aesthetics in Mathematics is conditional, for Mathematics expresses truth, and beauty is the hallmark of truth.”

So, Escher determined to enter the “realm” of Mathematics and draw from it anything he could have artistically represented, thus enabling even the non-mathematician layman art-lover to perceive this kind of beauty.

As we have already mentioned, his first “visit” to the mathematical realm was the regular and semi-regular plane tessellation.

In October 1937, Escher showed some of his new works to his brother Berend, a geology professor with Leiden University at the time, while they were both visiting their parental home in the Hague. Berend, acknowledging a connection between those woodcuts and crystallography, sent his brother a list of articles that he felt would help him. That was Escher’s first encounter with Mathematics.

Escher paid special attention to an article by mathematician Polya, which referred to plane symmetry groups and from which he was able to get a very good grasp of the 17 plane symmetry groups that were described.

Between 1937 and 1941, Escher worked on periodic tilings, producing 43 coloured drawings that exhibited a wide range of symmetry types.

In 1941, Escher wrote his first article, entitled Regular Division of the Plane with Asymmetric Congruent Polygons, through which he practically researched the artistic representation of themes in crystallography.

In 1954, he met mathematician Coxeter, one of the 20th century’s (1907-2003) greatest geometricians, and they became close friends. Through their correspondence, as well as the study of articles and books suggested by Coxeter, Escher re-entered a mathematical realm, that of non-Euclidean Geometries. The hyperbolic Geometry model, already introduced by Poincare, as well as other similar models, led Escher to the creation of a series of woodcuts, entitled Circle Limit I-IV, a sample of which, Circle Limit III, you can see below.

Coxeter published a series of articles in which he admiringly commented on Escher’s works. One such article was The Non-Euclidean Symmetry of Escher’s Picture ‘Circle Limit III’ – Leonardo – 1979.

Escher’s contact with another great mathematician, Sir Roger Penrose, brought him into the field of topology and the impossible figures that Swedish artist Oscar Reutesvärd had already introduced. The “impossible triangle” and the “impossible scale” inspired him into creating his own impossible forms: Waterfall, Relativity, Ascending and Descending, and so on.

The big question that arises from this series of works, which held Escher’s fascination, is how the brain can “read” reality through pictures. To what extent is the knowledge of an object feasible through its mere image? The great surprise is that these representations, which at first sight seem impossible, can actually be images of existing objects!

Swiss crystallographer Necker’s ambiguous cube and the three-dimensional cube, an impossible form, inspire Escher into creating the “Belvedere”.

Still drawing on the field of Topology and in a uniquely artistic way he represents Moebius strip: a seemingly double-faced surface which is in reality single-sided and “non-orientable”. Ants do not live in separate compartments and are able to meet. In his works Print Gallery and Cube with Ribbons he explores the logic and topology of space.

Escher could not have stood indifferent to mathematicians’ probes into the concepts of truth and falsehood, the foundation of Logic and the production of thinking machines, i.e. Artificial Intelligence. The woodcut entitled “Drawing Hands” depicts the problem-concept of self-reference, a sentence by which a person referring to themselves attaches an attribute, or predicate, to them. A historical self-referencing proposition is the one put down to Cretan Epimenides: “All Cretans lie”. The search for the truth or falsehood of this assertion leads to continuous contradictions. A ‘logical’ machine, a computer, cannot decide on the truth or falsehood of such a proposition. But let us have a look at the proposition underlying Escher’s woodcut: A painter’s hand can draw anything. If this holds true, can the drawing hand draw itself in the act of drawing?

But beyond the matters of typical Logic and Artificial Intelligence that this woodcut raises, there is also the great philosophical matter of self-awareness to consider. Only through cognizance can a cognizant being represent, and thus come to know, itself. A painter’s hand is, in Escher’s case, the hand of cognizance that can draw its very image.

Escher’s frequent and favourite concern was to offer his idea of the creation of the Universe and how it evolved. His way was invariably geometrical and profoundly inspired by diachronic philosophy, a thought which pervades his painting “Verbum” (logos):

To ancient Greeks, Apollo, who is shown in the middle, was the god of the sun, but also that of Logic. The Universe was created through mathematical ratio – specific arithmetic and geometric analogies – this is why to come to know it is “true opinion (belief) with an account (logos)” (Plato – Theaetetus).

The concept of self-similarity, that is a property according to which certain shapes exhibit the same structure in any scale change and are thus similar to one or more of their parts, is clearly shown in the painting entitled Exploring the Infinite 116.

What is shown in the paintings entitled Depth and Cubispace is the concept of discreet infinity, while in Limitsquare we can see the concepts of the infinitesimal and limit. But, of course, there is a long list of similar samples.

Plane symmetry groups, impossible figures-topology, space tessellation, self-similarity, hyperbolic geometries, reasoning paradox and the philosophy of creation all found their way into Escher’s works, through unparalleled artistic representation.

Can the deservedness of the gratitude and respect to which Escher has been – and still is – held by mathematicians and other scientists alike be questioned?

Κυριακή, 8 Ιουνίου 2008


Γραμμική προοπτική (Linear Perspective)

Van Gogh

Μια σύγχρονη επιστημονική έρευνα – ανάλυση έργου τέχνης από τη σκοπιά των θετικών επιστημών έχουμε στον VanGogh , ιμπρεσιονιστή και κατά πολλούς πρόδρομο του εξπρεσιονισμού.
Έτσι ο φυσικός Χοσέ Λουί Αραγκόν, με ομάδα ερευνητών στο Εθνικό Αυτόνομο Πανεπιστήμιο του Μεξικού προσπάθησε να ποσοτικοποιήσει παρόμοιους πίνακες με τον παραπάνω.
Οι φυσικοί αυτοί διαπιστώνουν ότι oι χαοτικές δίνες που χαρακτηρίζουν πίνακες του Βαν Γκογκ σαν την έναστρη νύχτα ακολουθούν με ακρίβεια τις μαθηματικές περιγραφές των αναταράξεων σε ρευστά υλικά, όπως οι στροβιλισμοί του νερού σε ένα ταραγμένο ρυάκι ή οι πραγματικοί ανεμοστρόβιλοι.
Η ανάλυση των πινάκων στον υπολογιστή αποκάλυψε ένα μοτίβο φωτεινών και σκοτεινών περιοχών που ακολουθούν τις εξισώσεις του Αντρεϊ Κολμογκόροφ, που τη δεκαετία του 1940 κατάφερε να περιγράψει εν μέρει τη δυναμική του στροβιλισμού των ρευστών.
Οι ταραγμένοι ουρανοί στην Έναστρη Νύχτα (1889) και στο Δρόμος με Κυπαρίσσι και Αστρο (1890), μεταξύ άλλων, παρουσιάζουν τη λεγόμενη «κλιμάκωση Κολμογκόροφ», εξισώσεις που δίνουν την πιθανότητα δύο οποιοδήποτε σημεία του ρευστού να έχουν μια δεδομένη διαφορά ταχύτητας.
Το παράξενο μάλιστα είναι ότι η δυναμική των ρευστών ανιχνεύεται μόνο στους πίνακες που ζωγράφισε η διαταραγμένη μεγαλοφυΐα όταν ήταν πνευματικά ασταθής, και όχι στην «ήρεμη» περίοδο της ζωής του, όταν ακολουθούσε φαρμακευτική αγωγή για τις κρίσεις του.
Έτσι, μετά τον αυτοακρωτηριασμό του αφτιού του, ο Βαν Γκογκ φαίνεται ότι είχε χάσει τη μαθηματική του ακρίβεια. Την περίοδο εκείνη ο καλλιτέχνης βρισκόταν σε κατάσταση «απόλυτης ηρεμίας» λόγω του βρωμιούχου καλίου που του χορηγήθηκε.
«Πιστεύουμε ότι ο Βαν Γκογκ είχε μια μοναδική ικανότητα να απεικονίζει αναταράξεις σε περιόδους παρατεταμένης ψυχωτικής αναστάτωσης» σχολιάζει ο Αραγκόν στη μελέτη του που δημοσιεύεται στο διαδικτυακό αρχείο arXiv.org.

Πέμπτη, 5 Ιουνίου 2008

M.C. ESCHER "ΑΠΟ ΤΟ ΠΡΟΣΧΕΔΙΟ ΣΤΟ ΑΡΙΣΤΟΥΡΓΗΜΑ".10 Οκτωβρίου 2008 - 25 Οκτωβρίου 2009

Ταινία του Moebius: Μια επιφάνεια μιας "όψεως".
Το Μουσείο Ηρακλειδών θα παρουσιάσει για δεύτερη φορά τη σπάνια συλλογή του με έργα του διάσημου Ολλανδού χαράκτη. Τα εκθέματα θα εναλλάσσονται περιοδικά, ενώ εκτός από τα πιο δημοφιλή έργα του, η έκθεση θα περιλαμβάνει πρωτοεμφανιζόμενα στο ευρύ κοινό προσχέδια, σχέδια και χαρακτικά.

Ο M.C. Escher γεννήθηκε στις 17 Ιουνίου του 1898, στο Leeuwarden, μία πόλη της βόρειας Ολλανδίας. Από μικρός έδειξε το ιδιαίτερο ταλέντο του στο σχέδιο. Ήδη από την εποχή της μέσης εκπαίδευσης έφτιαχνε τις πρώτες του λινοτυπίες, με τη βοήθεια του καθηγητή του των καλλιτεχνικών. Οι γονείς του τον προέτρεψαν να σπουδάσει αρχιτεκτονική κι έτσι γράφτηκε στη σχολή Αρχιτεκτονικής και Διακοσμητικού Σχεδίου, του Haarlem όπου σπούδασε από το 1919 ως το 1922.
O Escher γρήγορα αντιλήφθηκε ότι η αληθινή του αγάπη ήταν το σχέδιο και οι γραφικές τέχνες, και από εκείνη τη στιγμή και μετά αφιερώθηκε σ' αυτές.
Αφού τελείωσε τις σπουδές του το 1922, μετακόμισε στην Ιταλία και εγκαταστάθηκε στη Ρώμη το 1924. Περιηγήθηκε τη χώρα από το 1923 έως το 1935 αλλά παράλληλα επισκέφτηκε και τη Γαλλία και την Ισπανία όπου επισκέφτηκε την Αλάμπρα, ένα παλάτι των Μαυριτανών του 13ου αιώνα στη Γρανάδα και το μουσουλμανικό τέμενος της Κόρδοβα. Εκεί ήρθε σε επαφή με τη διακοσμητική δεξιοτεχνία των καλλιτεχνών του Ισλάμ, εντυπωσιάστηκε από τα μαυριτανικά μωσαϊκά και τα γεωμετρικά μοτίβα που διακοσμούσαν τους τοίχους των κτιρίων του παλατιού .
Στο διάστημα αυτό επικεντρώθηκε στην ορατή πραγματικότητα με τη δημιουργία ρεαλιστικών τοπίων και εικόνων.
Το 1934 έφυγε από την Ιταλία,πέρασε δυο χρόνια στην Ελβετία και 5 στις Βρυξέλλες για να εγκατασταθεί οριστικά στην Ολλανδία όπου πέθανε το 1972 σε ηλικία 73 ετών.
Από το 1937 και μετά το τελευταίο του ταξίδι μελέτης στην Αλάμπρα, το έργο του Escher χαρακτηρίστηκε από μια στροφή.Όπως έγραψε ο ίδιος, ιδέες άρχισαν να τον κατακλύζουν και αισθανόταν την ανάγκη να τις μεταδώσει και σε άλλους ανθρώπους.Και οι ιδέες αυτές ήταν κατά βάση από τις σοβαρότερες και συνάμα γοητευτικότερες μαθηματικές και φιλοσοφικές ανησυχίες του εικοστού αιώνα.
Η πρώτη του επαφή με τα Μαθηματικά ήταν όταν αποφάσισε να δώσει ζωή,χρησιμοποιώντας πουλιά και ψάρια, φυτά και ανθρώπους στα γεωμετρικά σχέδια των Μαυριτανών της Αλάμπρας που για θρησκευτικούς λόγους είχαν παντελή απουσία κάθε έμψυχης μορφής.
Τα συμπεράσματα των γεωμετρών και των κρυσταλλογράφων για τις πλακοστρώσεις του επιπέδου και του χώρου θα τα χαρακτηρίσει “ανοικτή πόρτα των μαθηματικών” και θα αναγνωρίσει την εξαιρετική επίδρασή τους στο έργο του.
Διασχίζοντας συνεχώς όπως πάλι ο ίδιος έλεγε το σύνορο μεταξύ Μαθηματικών και Τέχνης μας άφησε έναν πλούτο έργων με απαράμιλλες απεικονίσεις εννοιών όπως το άπειρο και το απειροστό, τις μη ευκλείδειες Γεωμετρίες,τη συνύπαρξη του καλού με το κακό,την εξέλιξη του Σύμπαντος και πολλά άλλα.
Από τη δεκαετία του '50 έγινε αγαπημένος καλλιτέχνης πολλών μαθηματικών και επιστημόνων.Σήμερα όμως όλοι του αναγνωρίζουν τη συμβολή του στη γεφύρωση του χάσματος μεταξύ επιστήμης και τέχνης.

Παρασκευή, 28 Μαρτίου 2008


Τι άραγε είναι αυτό που κάνει απαράμιλλο αισθητικά ένα κτίριο σαν τον Παρθενώνα;


Από το 1896 στο Centennial Park της πόλης Nashville(Tennessee,USA)υπάρχει χτισμένος ναός αντίγραφο του Παρθενώνα με όλα τα γλυπτά (πάντα σε αντίγραφα βέβαια)και λειτουργεί ως μουσείο με εισπράξεις κλπ.

Proportions of Parthenon, according Tons Brunes

Σάββατο, 1 Μαρτίου 2008


n"Εκεί που ο κόσµος παύει να είναι η σκηνή για τις προσωπικές ελπίδες και επιθυµίες , εκεί που τον παρατηρούµε µε απορία , αναρωτιόµαστε για αυτόν και τον µελετάµε εκεί είναι η είσοδος στο βασίλειο της τέχνης και της επιστήµης .
nΕάν µεταφράσουµε αυτό που νιώσαµε και παρατηρήσαµε µε τη γλώσσα της λογικής , τότε κάνουµε επιστήµη ,
nAν το δείξουµε µε µορφές των οποίων οι σχέσεις δεν είναι προσιτές στην ενσυνείδητη σκέψη αλλά αναγνωρίζονται µε τη διαίσθηση ως µεστές νοήµατος τότε κάνουµε τέχνη."

Τρίτη, 19 Φεβρουαρίου 2008


«…και πολλά μέλλει να μάθεις
αν το Ασήμαντο εμβαθύνεις
Και μια μέρα θα 'ρθει βοηθούς ν' αποκτήσεις…»
Τι άραγε θέλει να πει ο ποιητής;

Να εμβαθύνουμε στα ασήμαντα, τα τετριμμένα και όχι στα σημαντικά;
Η δική μου ταπεινή ανάγνωση παραπέμπει όχι βέβαια σε αυτό που δεν έχει αξία, το τιποτένιο, αλλά σε αυτό που δεν σημαίνεται, το άμεμπτο κι αλεύκαντο που αλλού αναφέρει πάλι ο ίδιος ποιητής.
Τι είναι αυτό που δεν σημαίνεται και πολλά μέλλει να μάθουμε αν εμβαθύνουμε σε αυτό; Μα βέβαια το νοητό , εκείνο που δεν απεικονίζεται ή τουλάχιστον δεν απεικονίζεται και δεν αναγνωρίζεται εύκολα.
Εδώ είναι η συνάντηση τέχνης και Μαθηματικών. H προσπάθεια να εμβαθύνουμε στο ασήμαντο σε αυτό που δεν βλέπουμε, δεν ακούμε, δεν μυρίζουμε γίνεται μέσω της τέχνης και των Μαθηματικών. Τα Μαθηματικά με τη γλώσσα της λογικής , η τέχνη με τη διαίσθηση, το συναίσθημα.Μα υπάρχουν πράγματα τέτοια θα πει κανείς; Τότε τι είναι η δικαιοσύνη, η ελευθερία; Ακουμπιούνται, μυρίζονται ή μήπως βλέπονται; Μιλάω λοιπόν για τον κόσμο των ιδεών , των εννοιών αν ενοχλεί κάποιους ο Πλάτων.

Σε βλέπω πάντα που κυλάς.

Γειά πές μου,ψίχαλο,που πάς;

Που πάς ομπρός οπίσω;

Τον κόσμο να φωτίσω.

Διονύσιος Σολωμός

Σάββατο, 16 Φεβρουαρίου 2008

Αυτοομοιότητα (Self-similarity)

Η αυτοομοιότητα σε πίνακα του Escher (επάνω) και στη φύση (κάτω).
Αυτοομοιότητα είναι η ιδιότητα ενός σχήματος να είναι όμοιο με ένα ή περισσότερα τμήματά του.Έτσι στο κλαδί της φτέρης οποιοδήποτε φυλλαράκι της και αν μεγεθύνουμε θα πάρουμε ένα μεγαλύτερο φύλλο αλλά και το συνολικό κλαδί.Για έναν αυστηρό ορισμό της αυτοομοιότητας δείτε: http://en.wikipedia.org/wiki/Self-similarity .
Ένα από τα πρώτα Μαθηματικά αυτοόμοια σχήματα (που παράγονται από το γράφημα μιας συνάρτησης στην οποία δίνουμε τιμές με μια επαναληπτική διαδικασία) παρουσιάσθηκε από τον Πολωνό Mandelbrot το 1980.
Όμως το πρώτο fractal (σχήμα με την ιδιότητα της αυτοομοιότητας) δε μελετήθηκε από τον Mandlebrot! Το πρώτο fractal που μελέτησε ο άνθρωπος με τα μέχρι τώρα ιστορικά στοιχεία και τις σχετικές έρευνες του καθηγητή Στέλιου Νεγρεπόντη (Μαθηματικό Αθήνας) ήταν η χρυσή τομή και η τετραγωνική ρίζα του 2 (Οι Πυθαγόρειοι και όχι βέβαια με αυτήν την σημερινή ορολογία αλλά με την αυτοομοιότητα των "ανθυφαιρετικών γνωμόνων"). Αργότερα στην Ακαδημία ο Θεαίτητος απέδειξε ότι όλες οι τετραγωνικές ρίζες των φυσικών αριθμών που δεν είναι τετράγωνα άλλων φυσικών (π.χ. 2,3,5,6,7,8,10,11 κ.λ.π) έχουν ανάπτυξη σε συνεχές κλάσμα που είναι περιοδικό. (Θεώρημα που απέδειξε ο Θεαίτητος)
Επίσης τα παράδοξα του Ζήνωνος έχουν ως μαθηματικό υπόβαθρο την ιδιότητα της αυτοομοιότητας.
Εν τω μεταξύ οι διάλογοι του Πλάτωνα διέπονται από αυτήν ακριβώς την καθαρά μαθηματική ιδιότητα μεταφερμένη σε φιλοσοφικό επίπεδο.Τελικά τα fractals είναι αρκετά παλιά ιστορία!!!

Αυτοαναφορά (self reference)

Μπορεί η έννοια της αυτοαναφοράς να απεικονισθεί σε πίνακα;
Κι όμως ο Escher το κατάφερε.
Κι όχι μόνον ο Escher αλλά και ο Rene Magritte:

Τι είναι όμως αυτοαναφορά; (Θα επανέλθω)

Παρασκευή, 15 Φεβρουαρίου 2008


Γνωρίζετε τι είναι οι εστίες Γνώσης και Επιστημών;Αν όχι δείτε εδώ την εστία Γνώσης Χαλκίδας :http://www.estiagnosis.gr

math art =art ?

Είναι τέχνη η λεγόμενη μαθηματική τέχνη;Η παραγωγή δηλαδή εικόνων μέσω μαθηματικών τύπων;
Η πάνω εικόνα είναι ένας κλασικός ιμπρεσιονιστικός πίνακας του Monet ενώ η κάτω μια εικόνα που παρήγαγε σε υπολογιστή μέσω μαθηματικού τύπου η μαθηματικός Anne Burns (http://mathartfun.com/shopsite_sc/store/html/AnnBurns.html).
Δείτε συγκρίνετε και αποφασίσετε.

Πέμπτη, 14 Φεβρουαρίου 2008

Βαθμοί πραγματικότητας ενός έργου τέχνης

Ανταποκρίνεται ένα έργο τέχνης σε κάποια πραγματικότητα και σε ποιο βαθμό;
Ο Πλάτων θεωρούσε ένα ζωγραφικό πίνακα μίμηση "πόρρω απέχουσα της αληθείας", τoν έθετε στο επίπεδο της δόξας (γνώμης) όχι κατ ανάγκην ορθής,ως ένα αρχικό απόκομμα της άπειρης ακολουθίας των γνωρισμάτων (ειδών)μιας έννοιας.
Ο σύγχρονός μας καλλιτέχνης Κώστας Ξενάκης θεωρεί ότι ένα έργο του αποκτά οντότητα όταν έστω και ένας αναγνώστης-θεατής του βρει κάποιο νόημα σε αυτό.
Για παράδειγμα υπάρχει κάποια πραγματικότητα στο παραπάνω έργο του Escher;

Παρασκευή, 1 Φεβρουαρίου 2008

"Της αισθήσεως ουδέν υγιές ποιούσης"-Πλάτων-Πολιτεία

Άμα δείτε τις παρακάτω εικόνες από τη θέση του υπολογιστή σας, ο κ.Θυμωμένος είναι στα αριστερά και η κ.Ήρεμη στα δεξιά.

Σηκωθείτε από τη θέση σας, κάντε λίγο πίσω και δείτε!! Αλλάζουν μεριές!!

Αυτή η παραίσθηση δημιουργήθηκε από τους Aude Oliva (Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, USA) and Philippe G. Schyns (University of Glasgow, Glasgo,w UK). Εκτέθηκε για πρώτη φορά στο exploratorium του San Francisco και δημοσιεύτηκε στο journal Cognition, 69, 243-265, 1999.

Αυτό αποδεικνύει ότι ίσως να μη βλέπουμε πραγματικά αυτό που υπάρχει, πάντα;