Πέμπτη, 26 Φεβρουαρίου 2009

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ

(Απόσπασμα από σειρά άρθρων μου δημοσιευμένα στο περιοδικό "Ευκλείδης" της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.Τα άρθρα αυτά περιέχονται και στο φυλλάδιο "Τέχνη και Μαθηματικά" που διανέμεται από το μουσείο Ηρακλειδών στα σχολεία που το επισκέπτονται.)

Μια ιστορική περίοδος όπου τα Μαθηματικά με την Τέχνη είναι απόλυτα συνδεδεμένα είναι η περίοδος των Πυθαγορείων στην κάτω Ιταλία. (600 περίπου π.χ.)
Η κοινή αντίληψη για τους Πυθαγόρειους τους θεωρεί σημαντικούς και γνωστούς για το ομώνυμο Πυθαγόρειο θεώρημα. Κι όμως δεν είναι αυτή η μεγάλη συνεισφορά των Πυθαγορείων.
Από τους Πυθαγόρειους ξεκινάει μια μαθηματική αισθητική θεώρηση του σύμπαντος. Πεποίθησή τους είναι ότι τα πάντα στη φύση είναι αρμονικά συνδεδεμένα σε ένα σύστημα αριθμητικών αναλογιών. Μια από τις μεγάλες προσφορές στην ανθρωπότητα είναι η έννοια της μουσικής κλίμακας. Η μουσική, τα ωραία ακούσματα βασίζονται στη διαδοχή ήχων με συγκεκριμένο λόγο συχνοτήτων (μουσικά διαστήματα). Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν ότι συνηχούν αρμονικά δύο χορδές όταν έχουν λόγους μηκών αντίστοιχα 2:1, 3:2, 4:3 και 9:8. (Σήμερα αυτό έχει επιβεβαιωθεί από τη Φυσική με την ανάλυση Fourier και τις έρευνες του Helmholtz. Όταν δυο νότες συνηχούν, η αρμονία που παράγεται οφείλεται στην σύμπτωση των αρμονικών τους συνιστωσών και αυτό γίνεται μόνο, όταν ο λόγος συχνοτήτων τους είναι λόγος μικρών φυσικών αριθμών).
Η οκτάβα π.χ. («δια πασών» όπως λεγόταν τότε) είναι το μουσικό διάστημα που προκύπτει από το λόγο 2:1. Αν κρουσθεί δηλ. μια χορδή και ξανακρουσθεί η μισή χορδή αφού δεσμευθεί η υπόλοιπη, οι δύο ήχοι που ακούγονται είναι πανομοιότυποι αλλά σε διαφορετικό ύψος. Το επόμενο διάστημα είναι το 3:2, κατόπιν το 4:3 και έπειτα το 9:8.
Πεπεισμένοι οι Πυθαγόρειοι, ότι τα πάντα στον κόσμο (= κόσμημα από το ρήμα κοσμώ) είναι αναλογίες φυσικών αριθμών προσπάθησαν να βρουν το λόγο της διαγωνίου δ προς την πλευρά α ενός τετραγώνου αλλά και το λόγο της πλευράς προς τη διαγώνιο ενός κανονικού πενταγώνου που μάλιστα το είχαν και έμβλημά τους. Δηλαδή προσπάθησαν να βρουν ένα τμήμα μ (κοινό μέτρο) ώστε δ = κ∙μ και α = λ∙μ (οπότε ο λόγος δ/α θα ήταν ίσος με κ/λ). Οι ιστορικοί μιλάνε για μια από τις μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών και ταυτόχρονα για την πρώτη μεγάλη κρίση στα θεμέλιά τους.
Οι Πυθαγόρειοι έκαναν πρώτοι τη διαπίστωση ότι τα τμήματα δ και α είναι ασύμμετρα. Δεν είναι δυνατόν να βρεθεί ένα κοινό μέτρο όσο και αν μικραίνει το μ και έτσι ο λόγος δ/α δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα (λόγος) φυσικών. Είναι άρρητος λόγος. Οι Πυθαγόρειοι έτσι ήρθαν αντιμέτωποι με το άπειρο, την επ’ άπειρο χωρίς αποτέλεσμα ελάττωση του μ. (Με σημερινή ορολογία τα άπειρα δεκαδικά ψηφία χωρίς καμία περιοδικότητα που προσεγγίζουν έναν άρρητο αριθμό). Κατασκεύασαν όμως ένα σύστημα «ανθυφαιρετικών γνωμόνων» με το οποίο διαπίστωσαν την περιοδικότητα του (με σημερινή ορολογία) συνεχούς κλάσματος που αναπαριστά το λόγο δ/α (τη σημερινή ρίζα 2 ), και επινόησαν τους πλευρικούς-διαμετρικούς αριθμούς.

(Με σημερινούς όρους δύο ισοσυγκλίνουσες ακολουθίες στο ρίζα 2, η μια με έλλειψη και η άλλη με υπερβολή). Κατόρθωσαν έτσι να καθυποτάξουν αυτήν την απειρία και να φθάσουν στο θαυμαστό επίτευγμα να μπορούν να προσεγγίσουν οσονδήποτε το λόγο διαγώνιος/πλευρά ενός τετραγώνου .
Ένας από τους επηρεασμούς της Τέχνης από αυτές τις αναζητήσεις των Πυθαγορείων είναι ότι σε αυτούς πιστώνεται ιστορικά η πρώτη μελέτη του δεύτερου λόγου που αναφέρθηκε προηγουμένως, αυτού της διαγωνίου προς την πλευρά ενός κανονικού πενταγώνου, του περίφημου αριθμού Φ, της χρυσής τομής.

Της πιο αρμονικής διαίρεσης ενός τμήματος σε δύο άνισα τμήματα. Οι Αρχαίοι Έλληνες δεν τον ονόμαζαν ούτε Φ ούτε χρυσή τομή, τον ονόμαζαν διαίρεση σε μέσο και άκρο λόγο, όπως τουλάχιστον εμφανίζεται αργότερα στα «Στοιχεία του Ευκλείδη». Οι Ευρωπαίοι κατά την Αναγέννηση, έκπληκτοι διαπίστωσαν τη γνώση και χρήση του από τους αρχαίους Έλληνες. Τον έλεγαν θεία αναλογία (divina proportione) και έχουμε πάρα πολλές μαρτυρίες για τη χρήση του στην Αναγέννηση (Luca Paccioli, Davinci κ.α.). Χρυσή τομή τον ονόμασε ο Martin Ohm Γερμανός μαθηματικός, αδερφός του γνωστού φυσικού περίπου το 1835. Φ τον ονόμασε ο Mark Barr Αμερικανός μαθηματικός στις αρχές του 20ου αιώνα προς τιμή του Φειδία από το αρχικό του γράμμα και έκτοτε είναι γνωστός ως «number phi» ή «golden ratio».
Ο μεγάλος Kepler έλεγε ότι δύο είναι τα διαμάντια της Γεωμετρίας, το ένα είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα και το άλλο αυτή η διαίρεση σε μέσο και άκρο λόγο.
Υπάρχει μεγάλη συζήτηση για τον υπερτονισμό της αισθητικής αξίας της χρυσής τομής, αυτό όμως δεν μειώνει καθόλου την αξία της Πυθαγόρειας αναζήτησης για τις αναλογίες. Γιατί κατόπιν τη σκυτάλη πήραν οι Μαθηματικοί της Ακαδημίας του Πλάτωνος, ο Θεαίτητος και ο μεγάλος Εύδοξος. Ο Εύδοξος και αργότερα ο Αρχιμήδης έθεσαν τις βάσεις για το σύστημα των πραγματικών αριθμών στο οποίο σήμερα βασίζεται όλος ο απειροστικός λογισμός. Πιο συγκεκριμένα, ο Εύδοξος στον οποίο αποδίδεται ολόκληρο το 5ο βιβλίο των στοιχείων του Ευκλείδη έδωσε μια επέκταση της έννοιας της αναλογίας, έναν ορισμό που ουσιαστικά ισοδυναμεί με τις τομές που εισήγαγε ο μαθηματικός Dedekind (1831–1916), ως ένα τρόπο κατασκευής των πραγματικών αριθμών από το σύνολο των ρητών.
Αρκετές διδακτικές προτάσεις μπορούν να στηριχθούν σε αυτή τη συσχέτιση μουσικής και μαθηματικών ανάλογα με την τάξη.
Για παράδειγμα α)η χρυσή τομή (γεωμετρικός και αλγεβρικός ορισμός), β)η έννοια του αρρήτου με τα παραδείγματα της τετραγωνικής ρίζας 2 αλλά και της χρυσής τομής γ)ο ρόλος των αναλογιών στην κατασκευή των μουσικών κλιμάκων.
Φιλοδοξία μας είναι οι διδακτικές αυτές προτάσεις να παρουσιάζονται από τη χρονιά 2009-2010 ως ένα αυτοτελές τμήμα του προγράμματος «Τέχνη και Μαθηματικά».

Τρίτη, 24 Φεβρουαρίου 2009

«Το Μαθηματικό υπόβαθρο της Πλατωνικής θεωρίας περί Τέχνης»

ΕΙΣΑΓΩΓΗ (Αποσπάσματα από την υπό έκδοση διατριβή μου με το ομώνυμο θέμα)
Οι Πλατωνικές θέσεις για την Τέχνη έχουν γίνει αντικείμενο επίπονης μελέτης από αρκετούς μελετητές του Πλατωνικού έργου καθώς αυτές μαζί με τις αντίστοιχες Aριστοτελικές αντιλήψεις έχουν συμβάλλει καθοριστικά στη διαμόρφωση των αντιλήψεων περί Αισθητικής.
Όμως η ανησυχία και ο στόχος του Πλάτωνος δεν ήταν μια διαμόρφωση αισθητικής θεωρίας.Το πρόβλημα του Πλάτωνος είναι ίσως ένα από τα πιο διαχρονικά φιλοσοφικά προβλήματα καίριο και στη σημερινή εποχή: Είναι η μίμηση, και η εικονική πραγματικότητα (Virtual Reality), η τεχνολογία, η οποία μέσω του επηρεασμού των ανθρώπινων αισθήσεων και της παροχής της αίσθησης της προοπτικής δίνει στο χρήστη τη ψευδαίσθηση ότι βρίσκεται σε ένα υποθετικό χώρο, σε μια υποθετική κατάσταση. Το ερώτημα για το βαθμό χρήσης της στην εκπαιδευτική πράξη αλλά και στον επηρεασμό της κοινής γνώμης είναι σύγχρονο, αλλά αρχικά τέθηκε από την Πλατωνική προβληματική περί «μίμησης» και καλλιτεχνικής μίμησης ως παιδαγωγικού μέσου, μέσου διαμόρφωσης προτύπων και μέσου προσέγγισης της αληθούς γνώσης.
Σχετικά ο Ε. Η. Gombrich (ιστορικός τέχνης) στο βιβλίο του "Τέχνη και ψευδαίσθηση (εκδόσεις Νεφέλη 1995), σ.123" παρατηρεί ότι "ελάχιστες σελίδες σχετικές με τη φιλοσοφία της καλλιτεχνικής αναπαράστασης έχουν ασκήσει στην αισθητική θεωρία επίδραση ανάλογη με το χωρίο της Πολιτείας από το στίχο 596 έως τον στίχο 598".
Πολύ σύντομα στο χωρίο αυτό ένας ποιητής παρομοιάζεται με ένα ζωγράφο που απλά γυρίζει ένα καθρέφτη και δημιουργεί δουλικά αντίγραφα της πραγματικότητας.(ιμιτασιόν-imitation)
Παρακάτω ένας ποιητής παρομοιάζεται με ένα ζωγράφο ενός χαλιναριού.
Την απόλυτη γνώση της ιδέας του χαλινού (των ηνίων) την έχει μόνο αυτός που χρησιμοποιεί τα ηνία, ο αναβάτης (μεταφορικά ο κατέχων τα ηνία της πόλεως, ο σοφός νομοθέτης), αυτός με τη σειρά του οδηγεί την κατασκευή-υλοποίηση των ηνίων στον κατασκευαστή των ηνίων (τους κυβερνήτες της πόλεως)και κατόπιν τρίτος σε σειρά ο ζωγράφος ζωγραφίζει αυτά τα ηνία, χωρίς όμως να έχει την γνώση τους.Έτσι και ένας ποιητής γράφει ποιήματα μιμούμενος νομοθέτες και κυβερνήτες (στις τραγωδίες και κωμωδίες) χωρίς όμως να είναι ο ίδιος ούτε νομοθέτης ούτε κυβερνήτης χρησιμοποιώντας μόνο τη φαντασία του.Άρα είναι "τρίτος από της αληθείας" και ως τέτοιος δεν μπορεί να είναι παιδαγωγός της νεολαίας, δεν είναι ικανός να απευθύνεται στο λογικό ανώτερο τμήμα της ψυχής αλά στο κατώτερο επιθυμητικό στο τμήμα των απολαύσεων.Αυτά εν συντομία τον οδηγούν στην έξωση των ποιητών και γενικότερα των καλλιτεχνών από την ιδανική πολιτεία του.Τα επιχειρήματα αυτά ξεκομμένα από το μαθηματικό υπόβαθρο της Πλατωνικής σκέψης ακούγονται χοντροκομμένα και ασύμβατα με την αναλυτικότητά της.
Υπάρχει πράγματι σύνδεση Μαθηματικών και Τέχνης στο Πλατωνικό έργο;Και αν ναι ποια είναι αυτή;Διαφωτίζει το λόγο για τον οποίο ο μεγάλος φιλόσοφος αποβάλλει ακόμα και τον Όμηρο από την εκπαίδευση των νέων;
Καταρχήν θα πρέπει να εξετάσουμε αν πράγματι η Πλατωνική φιλοσοφία επηρεάζεται από τα Μαθηματικά.Όμως ο επηρεασμός της Πλατωνικής σκέψης από τα Μαθηματικά είναι πέραν πάσης αμφισβήτησης ακόμα και από έναν μαθηματικώς αδαή αναγνώστη και δεν είναι υπερβολή να λεχθεί ότι η πλήρης κατανόηση των σημαντικότερων θεμάτων που θίγονται στους Πλατωνικούς διαλόγους απαιτεί και την μαθηματική τους «αποκρυπτογράφηση».
Τα Μαθηματικά στο Πλατωνικό έργο έχουν εξεταστεί σε αξιόλογες εργασίες με κυριότερο βέβαια το βιβλίο «The Mathematics of Plato’ s Academy- D. Fowler» χωρίς όμως σαφή σύνδεση Μαθηματικών και Πλατωνικής φιλοσοφίας και βέβαια φιλοσοφίας της τέχνης.
Θα προσπαθήσουμε σε μια σειρά αναρτήσεων να ανακαλύψουμε το μαθηματικό υπόβαθρο της Πλατωνικής διαλεκτικής και μέσα από αυτήν τη μαθηματική της αποκρυπτογράφηση κατόπιν να κατανοήσουμε την ειδικότερη διαλεκτική περί τέχνης.

Σε μια αρχική θεώρηση της Πλατωνικής οντολογίας και γνωσιολογίας έχουμε :
1)Το αόρατο-νοητό είδος όντων, τις ιδέες και την προσέγγισή τους από «τα μαθηματικά αντικείμενα» .
2)Το ορατό είδος όντων , τα αισθητά αντικείμενα και τα «φαντάσματά» τους, τα είδωλά τους.
3)Τη σχέση μέθεξης μεταξύ των αισθητών – νοητών.
Οι ιδέες είναι οντότητες, με τη δική τους, ανεξάρτητη οντολογική υπόσταση και είναι οι αιτίες των αισθητών. Δεν υπάρχει δηλαδή τίποτα στον αισθητό κόσμο που να μην χρωστά την οντολογική του υπόσταση απόλυτα στις ιδέες. Ο αισθητός κόσμος είναι μια εικόνα του αρχετύπου νοητού.
Στον «Παρμενίδη» σημειώνεται ότι και το παραμικρό σκουπίδι αναφέρεται και έχει σχέση με μια ιδέα.
Σχετίζονται και τεκμηριώνονται όλα αυτά στη βάση μιας Μαθηματικής θεωρίας την οποία είχε υπόψη του ο Πλάτων;Αυτός είναι ο ισχυρισμός μας και με τα επόμενα θα προσπαθήσουμε να το αποδείξουμε. Κατόπιν θα δούμε, πως αυτό το πλαίσιο της Πλατωνικής διαλεκτικής εφαρμόζεται στην Τέχνη και οδηγεί τον Πλάτωνα στην έξωση των ποιητών ακόμα και του Ομήρου από την ιδανική Πολιτεία του.
Η Πλατωνική σκέψη όμως ακολούθησε τα χνάρια των προηγηθέντων Πυθαγορείων και Ελεατών φιλοσόφων που κι αυτοί με τη σειρά τους ακολούθησαν τα χνάρια των Ιώνων.
(Συνεχίζεται...)