Πέμπτη, 26 Φεβρουαρίου 2009

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ

(Απόσπασμα από σειρά άρθρων μου δημοσιευμένα στο περιοδικό "Ευκλείδης" της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.Τα άρθρα αυτά περιέχονται και στο φυλλάδιο "Τέχνη και Μαθηματικά" που διανέμεται από το μουσείο Ηρακλειδών στα σχολεία που το επισκέπτονται.)

Μια ιστορική περίοδος όπου τα Μαθηματικά με την Τέχνη είναι απόλυτα συνδεδεμένα είναι η περίοδος των Πυθαγορείων στην κάτω Ιταλία. (600 περίπου π.χ.)
Η κοινή αντίληψη για τους Πυθαγόρειους τους θεωρεί σημαντικούς και γνωστούς για το ομώνυμο Πυθαγόρειο θεώρημα. Κι όμως δεν είναι αυτή η μεγάλη συνεισφορά των Πυθαγορείων.
Από τους Πυθαγόρειους ξεκινάει μια μαθηματική αισθητική θεώρηση του σύμπαντος. Πεποίθησή τους είναι ότι τα πάντα στη φύση είναι αρμονικά συνδεδεμένα σε ένα σύστημα αριθμητικών αναλογιών. Μια από τις μεγάλες προσφορές στην ανθρωπότητα είναι η έννοια της μουσικής κλίμακας. Η μουσική, τα ωραία ακούσματα βασίζονται στη διαδοχή ήχων με συγκεκριμένο λόγο συχνοτήτων (μουσικά διαστήματα). Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν ότι συνηχούν αρμονικά δύο χορδές όταν έχουν λόγους μηκών αντίστοιχα 2:1, 3:2, 4:3 και 9:8. (Σήμερα αυτό έχει επιβεβαιωθεί από τη Φυσική με την ανάλυση Fourier και τις έρευνες του Helmholtz. Όταν δυο νότες συνηχούν, η αρμονία που παράγεται οφείλεται στην σύμπτωση των αρμονικών τους συνιστωσών και αυτό γίνεται μόνο, όταν ο λόγος συχνοτήτων τους είναι λόγος μικρών φυσικών αριθμών).
Η οκτάβα π.χ. («δια πασών» όπως λεγόταν τότε) είναι το μουσικό διάστημα που προκύπτει από το λόγο 2:1. Αν κρουσθεί δηλ. μια χορδή και ξανακρουσθεί η μισή χορδή αφού δεσμευθεί η υπόλοιπη, οι δύο ήχοι που ακούγονται είναι πανομοιότυποι αλλά σε διαφορετικό ύψος. Το επόμενο διάστημα είναι το 3:2, κατόπιν το 4:3 και έπειτα το 9:8.
Πεπεισμένοι οι Πυθαγόρειοι, ότι τα πάντα στον κόσμο (= κόσμημα από το ρήμα κοσμώ) είναι αναλογίες φυσικών αριθμών προσπάθησαν να βρουν το λόγο της διαγωνίου δ προς την πλευρά α ενός τετραγώνου αλλά και το λόγο της πλευράς προς τη διαγώνιο ενός κανονικού πενταγώνου που μάλιστα το είχαν και έμβλημά τους. Δηλαδή προσπάθησαν να βρουν ένα τμήμα μ (κοινό μέτρο) ώστε δ = κ∙μ και α = λ∙μ (οπότε ο λόγος δ/α θα ήταν ίσος με κ/λ). Οι ιστορικοί μιλάνε για μια από τις μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών και ταυτόχρονα για την πρώτη μεγάλη κρίση στα θεμέλιά τους.
Οι Πυθαγόρειοι έκαναν πρώτοι τη διαπίστωση ότι τα τμήματα δ και α είναι ασύμμετρα. Δεν είναι δυνατόν να βρεθεί ένα κοινό μέτρο όσο και αν μικραίνει το μ και έτσι ο λόγος δ/α δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα (λόγος) φυσικών. Είναι άρρητος λόγος. Οι Πυθαγόρειοι έτσι ήρθαν αντιμέτωποι με το άπειρο, την επ’ άπειρο χωρίς αποτέλεσμα ελάττωση του μ. (Με σημερινή ορολογία τα άπειρα δεκαδικά ψηφία χωρίς καμία περιοδικότητα που προσεγγίζουν έναν άρρητο αριθμό). Κατασκεύασαν όμως ένα σύστημα «ανθυφαιρετικών γνωμόνων» με το οποίο διαπίστωσαν την περιοδικότητα του (με σημερινή ορολογία) συνεχούς κλάσματος που αναπαριστά το λόγο δ/α (τη σημερινή ρίζα 2 ), και επινόησαν τους πλευρικούς-διαμετρικούς αριθμούς.

(Με σημερινούς όρους δύο ισοσυγκλίνουσες ακολουθίες στο ρίζα 2, η μια με έλλειψη και η άλλη με υπερβολή). Κατόρθωσαν έτσι να καθυποτάξουν αυτήν την απειρία και να φθάσουν στο θαυμαστό επίτευγμα να μπορούν να προσεγγίσουν οσονδήποτε το λόγο διαγώνιος/πλευρά ενός τετραγώνου .
Ένας από τους επηρεασμούς της Τέχνης από αυτές τις αναζητήσεις των Πυθαγορείων είναι ότι σε αυτούς πιστώνεται ιστορικά η πρώτη μελέτη του δεύτερου λόγου που αναφέρθηκε προηγουμένως, αυτού της διαγωνίου προς την πλευρά ενός κανονικού πενταγώνου, του περίφημου αριθμού Φ, της χρυσής τομής.

Της πιο αρμονικής διαίρεσης ενός τμήματος σε δύο άνισα τμήματα. Οι Αρχαίοι Έλληνες δεν τον ονόμαζαν ούτε Φ ούτε χρυσή τομή, τον ονόμαζαν διαίρεση σε μέσο και άκρο λόγο, όπως τουλάχιστον εμφανίζεται αργότερα στα «Στοιχεία του Ευκλείδη». Οι Ευρωπαίοι κατά την Αναγέννηση, έκπληκτοι διαπίστωσαν τη γνώση και χρήση του από τους αρχαίους Έλληνες. Τον έλεγαν θεία αναλογία (divina proportione) και έχουμε πάρα πολλές μαρτυρίες για τη χρήση του στην Αναγέννηση (Luca Paccioli, Davinci κ.α.). Χρυσή τομή τον ονόμασε ο Martin Ohm Γερμανός μαθηματικός, αδερφός του γνωστού φυσικού περίπου το 1835. Φ τον ονόμασε ο Mark Barr Αμερικανός μαθηματικός στις αρχές του 20ου αιώνα προς τιμή του Φειδία από το αρχικό του γράμμα και έκτοτε είναι γνωστός ως «number phi» ή «golden ratio».
Ο μεγάλος Kepler έλεγε ότι δύο είναι τα διαμάντια της Γεωμετρίας, το ένα είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα και το άλλο αυτή η διαίρεση σε μέσο και άκρο λόγο.
Υπάρχει μεγάλη συζήτηση για τον υπερτονισμό της αισθητικής αξίας της χρυσής τομής, αυτό όμως δεν μειώνει καθόλου την αξία της Πυθαγόρειας αναζήτησης για τις αναλογίες. Γιατί κατόπιν τη σκυτάλη πήραν οι Μαθηματικοί της Ακαδημίας του Πλάτωνος, ο Θεαίτητος και ο μεγάλος Εύδοξος. Ο Εύδοξος και αργότερα ο Αρχιμήδης έθεσαν τις βάσεις για το σύστημα των πραγματικών αριθμών στο οποίο σήμερα βασίζεται όλος ο απειροστικός λογισμός. Πιο συγκεκριμένα, ο Εύδοξος στον οποίο αποδίδεται ολόκληρο το 5ο βιβλίο των στοιχείων του Ευκλείδη έδωσε μια επέκταση της έννοιας της αναλογίας, έναν ορισμό που ουσιαστικά ισοδυναμεί με τις τομές που εισήγαγε ο μαθηματικός Dedekind (1831–1916), ως ένα τρόπο κατασκευής των πραγματικών αριθμών από το σύνολο των ρητών.
Αρκετές διδακτικές προτάσεις μπορούν να στηριχθούν σε αυτή τη συσχέτιση μουσικής και μαθηματικών ανάλογα με την τάξη.
Για παράδειγμα α)η χρυσή τομή (γεωμετρικός και αλγεβρικός ορισμός), β)η έννοια του αρρήτου με τα παραδείγματα της τετραγωνικής ρίζας 2 αλλά και της χρυσής τομής γ)ο ρόλος των αναλογιών στην κατασκευή των μουσικών κλιμάκων.
Φιλοδοξία μας είναι οι διδακτικές αυτές προτάσεις να παρουσιάζονται από τη χρονιά 2009-2010 ως ένα αυτοτελές τμήμα του προγράμματος «Τέχνη και Μαθηματικά».

1 σχόλιο:

θρασυβουλοσ είπε...

Ενα πολύ καλά, απέρριτα και απόλυτα κατανοητά συντεταγμένο άρθρο, πλούσιο σε πληροφόρηση, για έναν μη μαθηματικό σαν εμένα. Ευχάριστώ τον συτάκτητη του. Α. ΣΤΕΑΣ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΟΣ,